Номер 8, страница 54, часть 2 - гдз по физике 8 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 7. Постоянный электрический ток. Параграф 50. Параллельное соединение проводников - номер 8, страница 54.

Условие.

8*. Определите сопротивление между точками А и В в схемах, показанных на рис. 30. Сопротивление каждого из резисторов в этих схемах $R = 20$ Ом.

а

$R_{AB} =$

б

$R_{AB} =$

в

$R_{AB} =$

г

$R_{AB} =$

Рис. 30

Решение.

Дано:

$R = 20 \text{ Ом}$ (сопротивление каждого резистора $R_1, R_2, R_3, R_4, R_5$)

Все величины даны в системе СИ, поэтому перевод не требуется.

Найти:

$R_{AB}$ - эквивалентное сопротивление между точками A и B для каждой схемы.

Решение:

По условию, сопротивления всех резисторов одинаковы: $R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = R_5 = R = 20 \text{ Ом}$.

a

В данной схеме мы имеем две параллельные ветви. Верхняя ветвь состоит из последовательно соединенных резисторов $R_1$ и $R_2$. Их общее сопротивление $R_{12}$ равно:

$R_{12} = R_1 + R_2 = R + R = 2R$

Нижняя ветвь состоит из последовательно соединенных резисторов $R_3$ и $R_4$. Их общее сопротивление $R_{34}$ равно:

$R_{34} = R_3 + R_4 = R + R = 2R$

Общее сопротивление $R_{AB}$ цепи определяется сопротивлением параллельно соединенных ветвей $R_{12}$ и $R_{34}$:

$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{R_{12}} + \frac{1}{R_{34}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{2}{2R} = \frac{1}{R}$

Следовательно, $R_{AB} = R$.

Подставляем числовое значение:

$R_{AB} = 20 \text{ Ом}$

Ответ: $R_{AB} = 20 \text{ Ом}$.

б

В этой схеме резисторы $R_1$ и $R_3$ соединены параллельно, и их группа соединена последовательно с группой параллельно соединенных резисторов $R_2$ и $R_4$.

Сопротивление параллельно соединенных $R_1$ и $R_3$ равно:

$R_{13} = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_3} = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R^2}{2R} = \frac{R}{2}$

Сопротивление параллельно соединенных $R_2$ и $R_4$ равно:

$R_{24} = \frac{R_2 \cdot R_4}{R_2 + R_4} = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R^2}{2R} = \frac{R}{2}$

Общее сопротивление $R_{AB}$ равно сумме сопротивлений последовательно соединенных групп $R_{13}$ и $R_{24}$:

$R_{AB} = R_{13} + R_{24} = \frac{R}{2} + \frac{R}{2} = R$

Подставляем числовое значение:

$R_{AB} = 20 \text{ Ом}$

Примечание: Эта схема представляет собой сбалансированный мост Уитстона, так как $R_1/R_3 = R_2/R_4 = 1$. В этом случае потенциалы в точках между $R_1$, $R_2$ и $R_3$, $R_4$ равны, и ток через центральную перемычку не течет. Если мысленно убрать эту перемычку, схема станет идентичной схеме а.

Ответ: $R_{AB} = 20 \text{ Ом}$.

в

Данная схема не сводится к простым последовательным и параллельным соединениям. Для ее расчета воспользуемся правилами Кирхгофа. Обозначим узлы: узел X - между $R_1$, $R_2$, $R_3$; узел Y - между $R_2$ и $R_4$. Подадим напряжение $\text{U}$ между точками A и B. Примем потенциал точки B равным нулю ($\phi_B = 0$), тогда потенциал точки A будет равен $\text{U}$ ($\phi_A = U$). Обозначим потенциалы узлов X и Y как $\phi_X$ и $\phi_Y$.

Согласно первому правилу Кирхгофа (правилу узлов):

Для узла X (сумма токов равна нулю): $\frac{\phi_A - \phi_X}{R_1} + \frac{\phi_B - \phi_X}{R_3} + \frac{\phi_Y - \phi_X}{R_2} = 0$.

Подставляя $R_1=R_2=R_3=R$, $\phi_A=U$ и $\phi_B=0$: $\frac{U - \phi_X}{R} + \frac{0 - \phi_X}{R} + \frac{\phi_Y - \phi_X}{R} = 0 \implies U - \phi_X - \phi_X + \phi_Y - \phi_X = 0 \implies U + \phi_Y = 3\phi_X$ (1)

Для узла Y: $\frac{\phi_X - \phi_Y}{R_2} + \frac{\phi_B - \phi_Y}{R_4} = 0$.

Подставляя $R_2=R_4=R$ и $\phi_B=0$: $\frac{\phi_X - \phi_Y}{R} + \frac{0 - \phi_Y}{R} = 0 \implies \phi_X - \phi_Y - \phi_Y = 0 \implies \phi_X = 2\phi_Y$ (2)

Подставим $\phi_Y = \phi_X/2$ из (2) в (1):

$U + \frac{\phi_X}{2} = 3\phi_X \implies U = 3\phi_X - \frac{\phi_X}{2} = \frac{5}{2}\phi_X \implies \phi_X = \frac{2}{5}U$

Общий ток $I_{total}$, входящий в схему, равен току через резистор $R_1$:

$I_{total} = \frac{\phi_A - \phi_X}{R_1} = \frac{U - \frac{2}{5}U}{R} = \frac{\frac{3}{5}U}{R} = \frac{3U}{5R}$

Эквивалентное сопротивление $R_{AB}$ равно:

$R_{AB} = \frac{U}{I_{total}} = \frac{U}{\frac{3U}{5R}} = \frac{5R}{3}$

Подставляем числовое значение:

$R_{AB} = \frac{5 \cdot 20}{3} = \frac{100}{3} \text{ Ом} \approx 33.3 \text{ Ом}$

Ответ: $R_{AB} = \frac{100}{3} \text{ Ом}$.

г

Эта схема представляет собой последовательное соединение резистора $R_5$ и блока резисторов $R_1, R_2, R_3, R_4$. Этот блок полностью идентичен схеме а.

Сопротивление этого блока $R_{1-4}$ было найдено в пункте а:

$R_{1-4} = R_{AB(a)} = R$

Общее сопротивление цепи $R_{AB}$ равно сумме сопротивлений последовательно соединенных блока $R_{1-4}$ и резистора $R_5$:

$R_{AB} = R_{1-4} + R_5 = R + R = 2R$

Подставляем числовое значение:

$R_{AB} = 2 \cdot 20 \text{ Ом} = 40 \text{ Ом}$

Ответ: $R_{AB} = 40 \text{ Ом}$.