Номер 9, страница 55, часть 2 - гдз по физике 8 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 7. Постоянный электрический ток. Параграф 50. Параллельное соединение проводников - номер 9, страница 55.

Условие.

9*. Определите силу тока, который будет протекать через резистор $R_4$ в схемах, изображённых на рис. 30 (см. задачу 8*), если между точками А и В создать напряжение $U = 2$ В.

a) ________.

б) ________.

в) ________.

г) ________.

Ответ: a) ________ б) ________ в) ________ г) ________.

Решение.

Дано:

$R_1 = 1 \text{ Ом}$

$R_2 = 2 \text{ Ом}$

$R_3 = 3 \text{ Ом}$

$R_4 = 4 \text{ Ом}$

$R_5 = 5 \text{ Ом}$

$U = 2 \text{ В}$

Найти:

$I_4$ — силу тока через резистор $R_4$ для каждой из схем а), б), в), г).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом Ома и правилами Кирхгофа для расчёта сложных электрических цепей. Значения сопротивлений взяты из условия задачи 8*, на которую ссылается данная задача.

а)

Схема представляет собой мост Уитстона. Проверим, является ли мост сбалансированным. Условие баланса: $R_1/R_2 = R_3/R_5$.

Подставим значения: $1/2 \neq 3/5$. Мост не сбалансирован, следовательно, через резистор $R_4$ протекает ток $I_4 \neq 0$.

Для нахождения тока $I_4$ воспользуемся методом узловых потенциалов. Примем потенциал точки В равным нулю ($\phi_B = 0$), тогда потенциал точки А равен $\text{U}$ ($\phi_A = 2 \text{ В}$). Обозначим потенциалы промежуточных точек как $\phi_C$ и $\phi_D$.

Запишем уравнения первого правила Кирхгофа (закона токов) для узлов C и D:

Для узла C: $\frac{\phi_A - \phi_C}{R_1} = \frac{\phi_C - \phi_B}{R_3} + \frac{\phi_C - \phi_D}{R_4}$

$\frac{2 - \phi_C}{1} = \frac{\phi_C - 0}{3} + \frac{\phi_C - \phi_D}{4}$

Домножим на 12: $12(2 - \phi_C) = 4\phi_C + 3(\phi_C - \phi_D)$, что приводит к уравнению $24 - 12\phi_C = 7\phi_C - 3\phi_D$, или $19\phi_C - 3\phi_D = 24$.

Для узла D: $\frac{\phi_A - \phi_D}{R_2} + \frac{\phi_C - \phi_D}{R_4} = \frac{\phi_D - \phi_B}{R_5}$

$\frac{2 - \phi_D}{2} + \frac{\phi_C - \phi_D}{4} = \frac{\phi_D - 0}{5}$

Домножим на 20: $10(2 - \phi_D) + 5(\phi_C - \phi_D) = 4\phi_D$, что приводит к уравнению $20 - 10\phi_D + 5\phi_C - 5\phi_D = 4\phi_D$, или $5\phi_C - 19\phi_D = -20$.

Решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} 19\phi_C - 3\phi_D = 24 \\ 5\phi_C - 19\phi_D = -20 \end{cases}$

Решая систему, получаем: $\phi_C = \frac{258}{173} \text{ В}$ и $\phi_D = \frac{250}{173} \text{ В}$.

Ток через резистор $R_4$ равен: $I_4 = \frac{\phi_C - \phi_D}{R_4} = \frac{\frac{258}{173} - \frac{250}{173}}{4} = \frac{8/173}{4} = \frac{2}{173} \text{ А}$.

Ответ: $I_4 = \frac{2}{173} \text{ А} \approx 0.012 \text{ А}$.

б)

В этой схеме напряжение $\text{U}$ приложено к двум параллельным ветвям. Одна ветвь содержит резистор $R_5$, другая — последовательно соединённые $R_4$ и блок, состоящий из параллельно соединённых $R_3$ и последовательно соединённых $R_1$ и $R_2$.

Найдём эквивалентное сопротивление ветви, содержащей $R_4$.

Сопротивление последовательно соединённых $R_1$ и $R_2$: $R_{12} = R_1 + R_2 = 1 + 2 = 3 \text{ Ом}$.

Сопротивление $R_{12}$ и $R_3$, соединённых параллельно: $R_{123} = \frac{R_{12} \cdot R_3}{R_{12} + R_3} = \frac{3 \cdot 3}{3 + 3} = 1.5 \text{ Ом}$.

Общее сопротивление ветви с $R_4$: $R_{ветви} = R_{123} + R_4 = 1.5 + 4 = 5.5 \text{ Ом}$.

Напряжение на этой ветви равно $U = 2 \text{ В}$. Ток, протекающий через эту ветвь, является током через резистор $R_4$, так как он соединён последовательно с остальной частью ветви.

$I_4 = \frac{U}{R_{ветви}} = \frac{2}{5.5} = \frac{2}{11/2} = \frac{4}{11} \text{ А}$.

Ответ: $I_4 = \frac{4}{11} \text{ А} \approx 0.364 \text{ А}$.

в)

В этой схеме напряжение $\text{U}$ также приложено к двум параллельным ветвям. Одна ветвь — резистор $R_5$, другая — резистор $R_1$, соединённый последовательно с блоком из трёх параллельно соединённых резисторов $R_2$, $R_3$ и $R_4$.

Найдём эквивалентное сопротивление ветви, содержащей $R_4$.

Сопротивление параллельно соединённых $R_2, R_3, R_4$:

$\frac{1}{R_{234}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6+4+3}{12} = \frac{13}{12} \text{ Ом}^{-1}$, откуда $R_{234} = \frac{12}{13} \text{ Ом}$.

Общее сопротивление ветви: $R_{ветви} = R_1 + R_{234} = 1 + \frac{12}{13} = \frac{25}{13} \text{ Ом}$.

Ток, протекающий через всю ветвь: $I_{ветви} = \frac{U}{R_{ветви}} = \frac{2}{25/13} = \frac{26}{25} \text{ А}$.

Этот ток, пройдя через $R_1$, разветвляется. Напряжение на параллельном участке ($R_2, R_3, R_4$) равно: $U_{234} = I_{ветви} \cdot R_{234} = \frac{26}{25} \cdot \frac{12}{13} = \frac{2 \cdot 12}{25} = \frac{24}{25} \text{ В}$.

Ток через резистор $R_4$: $I_4 = \frac{U_{234}}{R_4} = \frac{24/25}{4} = \frac{6}{25} \text{ А}$.

Ответ: $I_4 = \frac{6}{25} \text{ А} = 0.24 \text{ А}$.

г)

В этой схеме все резисторы соединены в одну цепь, к которой приложено напряжение $\text{U}$. Найдём общее эквивалентное сопротивление цепи.

Сопротивление параллельно соединённых $R_3$ и $R_4$: $R_{34} = \frac{R_3 \cdot R_4}{R_3 + R_4} = \frac{3 \cdot 4}{3+4} = \frac{12}{7} \text{ Ом}$.

Сопротивление участка с $R_2, R_3, R_4$: $R_{234} = R_2 + R_{34} = 2 + \frac{12}{7} = \frac{14+12}{7} = \frac{26}{7} \text{ Ом}$.

Сопротивление участка с $R_1, R_2, R_3, R_4$: $R_{1234} = \frac{R_1 \cdot R_{234}}{R_1 + R_{234}} = \frac{1 \cdot 26/7}{1 + 26/7} = \frac{26/7}{33/7} = \frac{26}{33} \text{ Ом}$.

Общее сопротивление всей цепи: $R_{общ} = R_5 + R_{1234} = 5 + \frac{26}{33} = \frac{165+26}{33} = \frac{191}{33} \text{ Ом}$.

Общий ток в цепи: $I_{общ} = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{2}{191/33} = \frac{66}{191} \text{ А}$.

Напряжение на участке $R_{1234}$: $U_{1234} = I_{общ} \cdot R_{1234} = \frac{66}{191} \cdot \frac{26}{33} = \frac{2 \cdot 26}{191} = \frac{52}{191} \text{ В}$.

Это напряжение приложено к ветви с сопротивлением $R_{234}$. Ток через эту ветвь: $I_{234} = \frac{U_{1234}}{R_{234}} = \frac{52/191}{26/7} = \frac{52 \cdot 7}{191 \cdot 26} = \frac{2 \cdot 7}{191} = \frac{14}{191} \text{ А}$.

Этот ток, пройдя через $R_2$, разветвляется между $R_3$ и $R_4$. Используем правило делителя тока:

$I_4 = I_{234} \cdot \frac{R_3}{R_3 + R_4} = \frac{14}{191} \cdot \frac{3}{3+4} = \frac{14}{191} \cdot \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 3}{191} = \frac{6}{191} \text{ А}$.

Ответ: $I_4 = \frac{6}{191} \text{ А} \approx 0.031 \text{ А}$.