Номер 10.18, страница 57 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.18, страница 57.

Условие.

10.18*. Трубку длиной $l = 60$ см, запаянную с одного конца, погружают в ртуть вертикально, открытым концом вниз. При какой глубине погружения $\text{h}$ в трубке выпадет роса? Температура в трубке не изменяется. Относительная влажность воздуха $\varphi = 80\%$, атмосферное давление $p_\text{a} = 76$ см рт. ст.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина трубки, $l = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

Относительная влажность воздуха, $φ = 80\% = 0.8$

Атмосферное давление, $p_a = 76 \text{ см рт. ст.} \approx 101325 \text{ Па}$

Температура постоянна, $T = \text{const}$

Найти:

Глубина погружения, $\text{h}$

Решение:

В начальном состоянии воздух в трубке находится под атмосферным давлением $p_a$. Это давление является суммой парциальных давлений сухого воздуха $p_{d1}$ и водяного пара $p_{v1}$:

$p_a = p_{d1} + p_{v1}$

Парциальное давление водяного пара связано с относительной влажностью $φ$ и давлением насыщенного пара $p_s$ при данной температуре соотношением:

$φ = \frac{p_{v1}}{p_s}$, откуда $p_{v1} = φ \cdot p_s$

Роса выпадает в тот момент, когда водяной пар в трубке становится насыщенным. Это означает, что его относительная влажность достигает 100%, а парциальное давление $p_{v2}$ становится равным давлению насыщенного пара $p_s$.

$p_{v2} = p_s$

Процесс сжатия воздуха в трубке является изотермическим, так как температура не изменяется. Пусть $\text{S}$ – площадь поперечного сечения трубки. Начальный объем воздуха $V_1 = S \cdot l$. Обозначим через $\text{x}$ длину столба воздуха в трубке в момент выпадения росы. Тогда конечный объем воздуха $V_2 = S \cdot x$.

Применим закон Бойля-Мариотта для водяного пара. До начала конденсации его количество постоянно, поэтому можно записать:

$p_{v1} V_1 = p_{v2} V_2$

Подставим известные соотношения:

$(φ \cdot p_s) \cdot (S \cdot l) = p_s \cdot (S \cdot x)$

Отсюда находим длину столба воздуха $\text{x}$ в момент начала конденсации:

$x = φ \cdot l = 0.8 \cdot 60 \text{ см} = 48 \text{ см}$

Теперь найдем полное давление воздуха $p_2$ в трубке в конечном состоянии. Оно равно сумме парциальных давлений сухого воздуха $p_{d2}$ и насыщенного пара $p_{v2} = p_s$:

$p_2 = p_{d2} + p_s$

Для определения $p_{d2}$ применим закон Бойля-Мариотта к сухому воздуху, количество которого также не меняется:

$p_{d1} V_1 = p_{d2} V_2$

Начальное парциальное давление сухого воздуха $p_{d1} = p_a - p_{v1} = p_a - φ \cdot p_s$.

$(p_a - φ \cdot p_s) \cdot (S \cdot l) = p_{d2} \cdot (S \cdot x)$

$p_{d2} = \frac{(p_a - φ \cdot p_s)l}{x}$

Подставив $x = φ \cdot l$, получим:

$p_{d2} = \frac{(p_a - φ \cdot p_s)l}{φ \cdot l} = \frac{p_a}{φ} - p_s$

Тогда полное давление в трубке в момент выпадения росы:

$p_2 = p_{d2} + p_s = (\frac{p_a}{φ} - p_s) + p_s = \frac{p_a}{φ}$

С другой стороны, давление $p_2$ в трубке уравновешивается внешним атмосферным давлением $p_a$ и гидростатическим давлением столба ртути. Разность уровней ртути снаружи и внутри трубки составляет $h - (l - x)$. Тогда, выражая все давления в сантиметрах ртутного столба, можем записать:

$p_2 = p_a + h - (l - x)$

Приравняем два выражения для $p_2$:

$\frac{p_a}{φ} = p_a + h - (l - x)$

Выразим отсюда искомую глубину погружения $\text{h}$:

$h = \frac{p_a}{φ} - p_a + l - x$

Подставим $x = φ \cdot l$:

$h = p_a(\frac{1}{φ} - 1) + l - φ \cdot l = p_a\frac{1-φ}{φ} + l(1-φ) = (1-φ)(\frac{p_a}{φ} + l)$

Произведем вычисления:

$h = (1 - 0.8) \cdot (\frac{76 \text{ см}}{0.8} + 60 \text{ см}) = 0.2 \cdot (95 \text{ см} + 60 \text{ см}) = 0.2 \cdot 155 \text{ см} = 31 \text{ см}$

Ответ: $h = 31 \text{ см}$.