Номер 10.17, страница 57 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.17, страница 57.

Условие.

10.17*. При какой длине $\text{l}$ столбика ртути (см. задачу 10.16) в трубке, поставленной вертикально, открытым концом вверх, выпадет роса?

Решение.

Решение 2.

Поскольку в условии задачи 10.17* есть ссылка на задачу 10.16, для решения будем использовать стандартные начальные условия, которые обычно приводятся в таких задачах: воздух в трубке изначально находится под нормальным атмосферным давлением, а его относительная влажность составляет 60%. Процесс сжатия воздуха столбиком ртути будем считать изотермическим.

Дано:

Начальная относительная влажность воздуха: $φ_1 = 60\%$

Нормальное атмосферное давление: $P_a = 760$ мм рт. ст.

Температура постоянна: $T = const$

Перевод в систему СИ:

$φ_1 = 0.6$

$P_a = 760 \text{ мм рт. ст.} = 0.76 \text{ м рт. ст.} \approx 101325 \text{ Па}$

Плотность ртути (справочное значение): $ρ_{Hg} \approx 13600 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Длину столбика ртути $\text{l}$.

Решение:

Воздух в трубке представляет собой смесь сухого воздуха и водяного пара. Обозначим начальное состояние смеси индексом 1, а конечное — индексом 2.

В начальном состоянии (до добавления ртути) общее давление смеси равно атмосферному: $P_1 = P_a$. Это давление складывается из парциального давления сухого воздуха $P_{d1}$ и парциального давления водяного пара $P_{v1}$.

Парциальное давление водяного пара по определению относительной влажности: $P_{v1} = φ_1 P_s$, где $P_s$ — давление насыщенного водяного пара при данной температуре.

Парциальное давление сухого воздуха: $P_{d1} = P_1 - P_{v1} = P_a - φ_1 P_s$.

В конечном состоянии, когда в трубку налит столбик ртути высотой $\text{l}$, общее давление смеси $P_2$ равно сумме атмосферного давления и гидростатического давления столбика ртути: $P_2 = P_a + P_{Hg} = P_a + ρ_{Hg}gl$.

По условию, в конечном состоянии выпадает роса. Это означает, что водяной пар становится насыщенным, и его парциальное давление равно давлению насыщенного пара: $P_{v2} = P_s$.

Тогда парциальное давление сухого воздуха в конечном состоянии: $P_{d2} = P_2 - P_{v2} = P_a + ρ_{Hg}gl - P_s$.

Поскольку процесс сжатия происходит при постоянной температуре (изотермически), мы можем применить закон Бойля-Мариотта отдельно для сухого воздуха (количество которого не меняется) и для водяного пара (до момента начала конденсации).

Для водяного пара, в момент начала конденсации, справедливо: $P_{v1}V_1 = P_{v2}V_2$.

Подставляя выражения для давлений, получаем: $(φ_1 P_s) V_1 = P_s V_2$.

Отсюда находим соотношение между начальным и конечным объемами воздуха: $V_2 = φ_1 V_1$.

Теперь применим закон Бойля-Мариотта для сухого воздуха: $P_{d1}V_1 = P_{d2}V_2$.

Подставим выражения для давлений и найденное соотношение объемов:

$(P_a - φ_1 P_s) V_1 = (P_a + ρ_{Hg}gl - P_s) (φ_1 V_1)$

Сократим $V_1$ (так как $V_1 \ne 0$) и раскроем скобки в правой части:

$P_a - φ_1 P_s = φ_1 P_a + φ_1 ρ_{Hg}gl - φ_1 P_s$

Как видно, слагаемое $φ_1 P_s$ в обеих частях уравнения сокращается. Это означает, что результат не зависит от температуры и давления насыщенного пара.

$P_a = φ_1 P_a + φ_1 ρ_{Hg}gl$

$P_a(1 - φ_1) = φ_1 ρ_{Hg}gl$

Выразим искомую длину $\text{l}$:

$l = \frac{P_a(1 - φ_1)}{φ_1 ρ_{Hg}g}$

Для удобства вычислений представим атмосферное давление $P_a$ через высоту эквивалентного ртутного столба $h_a$: $P_a = ρ_{Hg}gh_a$, где $h_a = 760$ мм рт. ст. = 0.76 м рт. ст.

$l = \frac{ρ_{Hg}gh_a(1 - φ_1)}{φ_1 ρ_{Hg}g} = h_a \frac{1 - φ_1}{φ_1}$

Теперь подставим числовые значения. Вычисления проведем в сантиметрах, так как $h_a = 76$ см рт. ст.

$l = 76 \text{ см} \cdot \frac{1 - 0.6}{0.6} = 76 \cdot \frac{0.4}{0.6} = 76 \cdot \frac{2}{3} = \frac{152}{3} \approx 50.67 \text{ см}$

Округлим результат до трех значащих цифр.

Ответ: $l \approx 50.7$ см.