Номер 10.21, страница 58 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.21, страница 58.

Условие.

10.21**. При сжатии некоторой порции влажного воздуха его объем уменьшился в четыре раза, а давление возросло в три раза. Когда воздух сжали еще в два раза, давление стало в пять раз больше первоначального. Температура при сжатии оставалась постоянной. Какова была относительная влажность воздуха $\phi$ в самом начале?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$V_2 = V_1 / 4$ (объем после первого сжатия)
$P_2 = 3 P_1$ (давление после первого сжатия)
$V_3 = V_2 / 2 = V_1 / 8$ (объем после второго сжатия)
$P_3 = 5 P_1$ (давление после второго сжатия)
$T = \text{const}$ (процесс изотермический)

Найти:

$\phi$ - начальная относительная влажность.

Решение:

Влажный воздух является смесью сухого воздуха и водяного пара. Согласно закону Дальтона, общее давление смеси равно сумме парциальных давлений ее компонентов.

В начальном состоянии (состояние 1) общее давление равно:
$P_1 = P_{сух1} + P_{пар1}$
где $P_{сух1}$ — парциальное давление сухого воздуха, а $P_{пар1}$ — парциальное давление водяного пара.

Начальная относительная влажность $\phi$ определяется формулой:
$\phi = \frac{P_{пар1}}{P_{нас}}$
где $P_{нас}$ — давление насыщенного пара при данной температуре $\text{T}$.

Рассмотрим первый этап сжатия (переход из состояния 1 в состояние 2). Объем уменьшается в 4 раза ($V_2 = V_1/4$) при постоянной температуре. Если бы водяной пар оставался ненасыщенным, то по закону Бойля-Мариотта его парциальное давление, как и давление сухого воздуха, увеличилось бы в 4 раза. Тогда общее давление стало бы $P_2' = 4P_{сух1} + 4P_{пар1} = 4(P_{сух1} + P_{пар1}) = 4P_1$.

Однако по условию $P_2 = 3P_1$. Так как $3P_1 < 4P_1$, это означает, что в процессе сжатия водяной пар достиг насыщения и начал конденсироваться. Следовательно, в состоянии 2 парциальное давление водяного пара равно давлению насыщенного пара $P_{нас}$.

Для состояния 2 имеем:
Парциальное давление пара $P_{пар2} = P_{нас}$.
Парциальное давление сухого воздуха, согласно закону Бойля-Мариотта ($P_{сух1}V_1 = P_{сух2}V_2$), равно $P_{сух2} = P_{сух1} \frac{V_1}{V_2} = 4P_{сух1}$.
Общее давление в состоянии 2:
$P_2 = P_{сух2} + P_{пар2} = 4P_{сух1} + P_{нас}$.
Учитывая, что $P_2 = 3P_1$, получаем первое уравнение:
$3P_1 = 4P_{сух1} + P_{нас}$ (1)

Рассмотрим второй этап сжатия (переход в состояние 3). Объем уменьшается еще в 2 раза, и итоговый объем становится $V_3 = V_1/8$. Поскольку пар уже был насыщен в состоянии 2, при дальнейшем изотермическом сжатии он останется насыщенным, и его парциальное давление не изменится.

Для состояния 3 имеем:
Парциальное давление пара $P_{пар3} = P_{нас}$.
Парциальное давление сухого воздуха $P_{сух3} = P_{сух1} \frac{V_1}{V_3} = 8P_{сух1}$.
Общее давление в состоянии 3:
$P_3 = P_{сух3} + P_{пар3} = 8P_{сух1} + P_{нас}$.
Учитывая, что $P_3 = 5P_1$, получаем второе уравнение:
$5P_1 = 8P_{сух1} + P_{нас}$ (2)

Теперь решим систему из двух уравнений (1) и (2):
$\begin{cases} 3P_1 = 4P_{сух1} + P_{нас} \\ 5P_1 = 8P_{сух1} + P_{нас} \end{cases}$
Вычтем из второго уравнения первое:
$(5P_1 - 3P_1) = (8P_{сух1} + P_{нас}) - (4P_{сух1} + P_{нас})$
$2P_1 = 4P_{сух1}$
Отсюда находим начальное парциальное давление сухого воздуха:
$P_{сух1} = \frac{1}{2}P_1$.

Подставим это значение в первое уравнение системы, чтобы найти давление насыщенного пара:
$3P_1 = 4\left(\frac{1}{2}P_1\right) + P_{нас}$
$3P_1 = 2P_1 + P_{нас}$
$P_{нас} = P_1$.

Теперь из закона Дальтона для начального состояния найдем парциальное давление пара:
$P_{пар1} = P_1 - P_{сух1} = P_1 - \frac{1}{2}P_1 = \frac{1}{2}P_1$.

Наконец, вычисляем начальную относительную влажность:
$\phi = \frac{P_{пар1}}{P_{нас}} = \frac{\frac{1}{2}P_1}{P_1} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: Начальная относительная влажность воздуха была $\phi = 0.5$ или 50%.