Номер 10.14, страница 57 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.14, страница 57.

Условие.

10.14*. В теплоизолированном цилиндре под невесомым поршнем находится вода массой $m = 30 \text{ г}$ при температуре $t_1 = 0 \text{ °С}$. Площадь поршня $S = 500 \text{ см}^2$, внешнее давление $p = 10^5 \text{ Па}$. На какую высоту $\text{h}$ поднимется поршень, если находящийся в цилиндре электронагреватель выделит количество теплоты $Q = 25 \text{ кДж}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$m = 30$ г

$t_1 = 0$ °C

$S = 500$ см²

$p = 10^5$ Па

$Q = 25$ кДж

$m = 30 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.03$ кг
$t_1 = 0$ °C, $T_1 = 273$ К
$S = 500 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.05$ м²
$p = 10^5$ Па
$Q = 25 \cdot 10^3$ Дж

Найти:

$\text{h}$

Решение:

Процесс, происходящий с водой в цилиндре, можно разделить на два этапа. Сначала вся вода нагревается от начальной температуры $t_1$ до температуры кипения $t_2$. Затем часть воды превращается в пар при постоянном давлении $\text{p}$, что приводит к подъему поршня. Поскольку внешнее давление составляет $p = 10^5$ Па (что близко к нормальному атмосферному давлению), температура кипения воды $t_2 = 100$ °C.

1. Найдем количество теплоты $Q_1$, необходимое для нагревания всей массы воды от $t_1 = 0$ °C до $t_2 = 100$ °C. Удельная теплоемкость воды $c = 4200$ Дж/(кг·°C).

$Q_1 = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

$Q_1 = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0.03 \text{ кг} \cdot (100 \text{ °C} - 0 \text{ °C}) = 12600$ Дж = 12.6 кДж.

2. Сравним полученное значение $Q_1$ с общим количеством теплоты $\text{Q}$, выделенным нагревателем. Так как $Q = 25$ кДж > $Q_1 = 12.6$ кДж, вода сначала нагреется до 100 °C, а оставшееся количество теплоты пойдет на парообразование.

3. Найдем количество теплоты $Q_{vap}$, которое пошло на парообразование:

$Q_{vap} = Q - Q_1 = 25000 \text{ Дж} - 12600 \text{ Дж} = 12400$ Дж.

4. Это количество теплоты превратит в пар массу воды $m_v$. Удельная теплота парообразования воды $L = 2.26 \cdot 10^6$ Дж/кг.

$Q_{vap} = L \cdot m_v$

$m_v = \frac{Q_{vap}}{L} = \frac{12400 \text{ Дж}}{2.26 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}} \approx 0.00549$ кг.

Эта масса меньше общей массы воды ($0.00549 \text{ кг} < 0.03$ кг), что подтверждает, что не вся вода испарилась.

5. При превращении воды в пар объем системы увеличивается, что приводит к подъему поршня. Изменение объема $\Delta V$ равно разности объемов образовавшегося пара $V_{steam}$ и испарившейся воды $V_{water}$. Объемом испарившейся воды можно пренебречь, так как он значительно меньше объема пара ($\Delta V \approx V_{steam}$). Найдем объем пара, используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона). Процесс парообразования происходит при постоянном давлении $\text{p}$ и температуре $T_2 = 100$ °C = 373 K. Молярная масса воды $M = 0.018$ кг/моль, универсальная газовая постоянная $R = 8.31$ Дж/(моль·К).

$p V_{steam} = \frac{m_v}{M} R T_2$

$V_{steam} = \frac{m_v R T_2}{p M} = \frac{0.00549 \text{ кг} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 373 \text{ К}}{10^5 \text{ Па} \cdot 0.018 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}} \approx \frac{17005}{1800} \approx 0.00945$ м³.

6. Изменение объема также связано с высотой подъема поршня $\text{h}$ и его площадью $\text{S}$:

$\Delta V = S \cdot h$

Отсюда находим высоту $\text{h}$:

$h = \frac{\Delta V}{S} \approx \frac{0.00945 \text{ м³}}{0.05 \text{ м²}} = 0.189$ м.

Ответ: $h \approx 0.19$ м.