Номер 10.16, страница 57 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.16, страница 57.

Условие.

10.16*. В запаянной с одного конца горизонтально лежащей трубке находится воздух с относительной влажностью $\varphi_0 = 80\%$. Воздух отделен от атмосферы столбиком ртути длиной $l = 76 \text{ мм}$. Какой станет относительная влажность $\varphi$, если трубку поставить вертикально, открытым концом вниз? Температура при этом не изменяется, атмосферное давление $p_a = 760 \text{ мм рт. ст.}$. Ртуть из трубки при переворачивании не выливается.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная относительная влажность воздуха: $\phi_0 = 80\% = 0.8$

Длина столбика ртути: $l = 76$ мм

Атмосферное давление: $p_a = 760$ мм рт. ст.

Температура постоянна: $T = \text{const}$

В данной задаче все давления удобно выражать в миллиметрах ртутного столба (мм рт. ст.), поэтому перевод в систему СИ не требуется. Давление столбика ртути $p_{Hg}$ численно равно его длине $\text{l}$.

Найти:

Конечная относительная влажность воздуха $\phi$.

Решение:

Влажный воздух в трубке является смесью сухого воздуха и водяного пара. Общее давление смеси $\text{p}$ равно сумме парциальных давлений сухого воздуха $p_{воз}$ и водяного пара $p_{пар}$ (закон Дальтона): $p = p_{воз} + p_{пар}$.

Относительная влажность $\phi$ определяется как отношение парциального давления водяного пара $p_{пар}$ к давлению насыщенного пара $p_{н}$ при той же температуре: $\phi = \frac{p_{пар}}{p_{н}}$. Так как по условию температура не изменяется ($T = \text{const}$), давление насыщенного пара $p_{н}$ также остается постоянным.

В начальном состоянии, когда трубка расположена горизонтально, давление влажного воздуха внутри ($p_0$) равно внешнему атмосферному давлению ($p_a$):

$p_0 = p_a = 760$ мм рт. ст.

Начальное парциальное давление водяного пара $p_{пар,0}$ можно выразить через начальную влажность $\phi_0$:

$p_{пар,0} = \phi_0 \cdot p_{н}$

В конечном состоянии, когда трубку ставят вертикально открытым концом вниз, давление влажного воздуха ($p_1$) уравновешивает разность атмосферного давления и давления столбика ртути, который своим весом действует вниз:

$p_1 = p_a - p_{Hg} = p_a - l = 760 \text{ мм рт. ст.} - 76 \text{ мм рт. ст.} = 684$ мм рт. ст.

Поскольку процесс переворачивания трубки происходит при постоянной температуре, для влажного воздуха как для газовой смеси можно применить закон Бойля–Мариотта. Пусть $V_0$ и $V_1$ – начальный и конечный объемы воздуха в трубке соответственно. Тогда:

$p_0 V_0 = p_1 V_1$

Этот закон справедлив и для каждой компоненты смеси в отдельности (при условии, что не происходит конденсации пара). Для водяного пара:

$p_{пар,0} V_0 = p_{пар,1} V_1$

Из этого соотношения выразим конечное парциальное давление пара $p_{пар,1}$:

$p_{пар,1} = p_{пар,0} \cdot \frac{V_0}{V_1}$

Из закона Бойля–Мариотта для всей смеси имеем $\frac{V_0}{V_1} = \frac{p_1}{p_0}$. Подставим это в выражение для $p_{пар,1}$:

$p_{пар,1} = p_{пар,0} \cdot \frac{p_1}{p_0}$

Теперь найдем конечную относительную влажность $\phi$:

$\phi = \frac{p_{пар,1}}{p_{н}} = \frac{p_{пар,0} \cdot (p_1/p_0)}{p_{н}}$

Подставляя $p_{пар,0} = \phi_0 \cdot p_{н}$, получаем:

$\phi = \frac{\phi_0 \cdot p_{н}}{p_{н}} \cdot \frac{p_1}{p_0} = \phi_0 \cdot \frac{p_a - l}{p_a}$

Произведем вычисления:

$\phi = 0.8 \cdot \frac{684}{760} = 0.8 \cdot 0.9 = 0.72$

Таким образом, конечная относительная влажность составляет 72%. Так как $\phi < 100\%$, конденсации пара не произошло, и использование закона Бойля–Мариотта было корректным.

Ответ: $\phi = 72\%$.