Номер 10.26, страница 58 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.26, страница 58.

Условие.

10.26. Стеклянная капиллярная трубка с очень тонкими стенками подвешена вертикально к чашке рычажных весов. Весы уравновешены. К трубке подносят снизу сосуд с водой так, что поверхность воды касается капилляра. Чтобы восстановить равновесие, пришлось увеличить груз на другой чашке весов на $m = 0,14 \text{ г}$. Найдите радиус $\text{r}$ капилляра*).

Решение.

Решение 2.

Дано:

$m = 0,14 \text{ г}$

$\sigma \approx 0,073 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$ (коэффициент поверхностного натяжения воды)

$g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (ускорение свободного падения)

$m = 0,14 \text{ г} = 0,14 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 1,4 \cdot 10^{-4} \text{ кг}$

Найти:

$\text{r}$

Решение:

Когда капиллярная трубка касается поверхности воды, на нее со стороны жидкости начинает действовать сила поверхностного натяжения $F_{\sigma}$. Поскольку вода смачивает стекло, эта сила направлена вертикально вниз и стремится втянуть трубку в воду. Для восстановления равновесия весов на другую чашку необходимо положить дополнительный груз массой $\text{m}$. Сила тяжести этого груза $F_g$ будет уравновешивать силу поверхностного натяжения:

$F_{\sigma} = F_g = mg$

Сила поверхностного натяжения вычисляется по формуле:

$F_{\sigma} = \sigma L \cos\theta$

где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения, $\text{L}$ — длина линии соприкосновения жидкости с телом, $\theta$ — краевой угол.

В данном случае вода смачивает трубку как с внутренней, так и с внешней стороны. Так как трубка имеет очень тонкие стенки, можно считать, что ее внутренний и внешний радиусы равны $\text{r}$. Тогда общая длина линии соприкосновения $\text{L}$ равна сумме длин внутренней и внешней окружностей:

$L = 2\pi r + 2\pi r = 4\pi r$

Для случая полного смачивания (чистая вода на чистом стекле) краевой угол $\theta = 0$, следовательно, $\cos\theta = 1$.

Подставим полученные выражения в формулу для силы поверхностного натяжения:

$F_{\sigma} = \sigma \cdot (4\pi r) \cdot 1 = 4\pi\sigma r$

Теперь приравняем это выражение к силе тяжести дополнительного груза:

$4\pi\sigma r = mg$

Из этого уравнения выразим искомый радиус капилляра $\text{r}$:

$r = \frac{mg}{4\pi\sigma}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$r = \frac{1,4 \cdot 10^{-4} \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{4 \cdot 3,14 \cdot 0,073 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} \approx \frac{13,72 \cdot 10^{-4} \text{ Н}}{0,917 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} \approx 14,96 \cdot 10^{-4} \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры для удобства:

$14,96 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 1,496 \cdot 10^{-3} \text{ м} \approx 1,5 \text{ мм}$

Ответ: радиус капилляра $r \approx 1,5 \text{ мм}$.