Номер 10.32, страница 59 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.32, страница 59.

Условие.

10.32**. Капиллярная стеклянная труб-ка радиусом $\text{r}$ и высотой $\text{h}$ соединена с широким и высоким сосудом (см. рисунок). Сосуд постепенно заполняется каплями воды, падающими через равные промежутки времени. Постройте графики зависимостей от времени уровней воды в трубке и сосуде, а также разности этих уровней.

Решение.

Решение 2.

Решение

Для анализа процесса введем следующие обозначения: $H_v(t)$ – уровень воды в широком сосуде в зависимости от времени $\text{t}$, $H_t(t)$ – уровень воды в капиллярной трубке. Разность уровней будет $\Delta H(t) = H_t(t) - H_v(t)$.

Поскольку вода смачивает стекло, в капиллярной трубке будет наблюдаться капиллярный подъем. Высота этого подъема определяется формулой Жюрена: $h_{кап} = \frac{2\sigma \cos\theta}{\rho g r}$, где $\sigma$ – коэффициент поверхностного натяжения воды, $\theta$ – краевой угол (для воды и чистого стекла $\theta \approx 0$, поэтому $\cos\theta \approx 1$), $\rho$ – плотность воды, $\text{g}$ – ускорение свободного падения, $\text{r}$ – радиус капилляра. Для данной системы $h_{кап}$ является постоянной величиной.

Процесс заполнения можно разделить на три этапа.

Этап 1: Начало заполнения. Пока уровень воды в трубке $H_t$ меньше ее высоты $\text{h}$, разность уровней поддерживается постоянной за счет капиллярных сил: $\Delta H = h_{кап}$. Поскольку сосуд заполняется равномерно, уровень воды в нем растет линейно со временем: $H_v(t) = k \cdot t$, где $\text{k}$ – некоторая постоянная, зависящая от скорости поступления воды и площади сечения сосуда. Уровень в трубке в этот период также растет линейно: $H_t(t) = H_v(t) + h_{кап} = k \cdot t + h_{кап}$. Этот этап продолжается до тех пор, пока уровень в трубке не достигнет ее верхнего края, то есть $H_t(t_1) = h$. Это произойдет в момент времени $t_1$, когда уровень в сосуде будет $H_v(t_1) = h - h_{кап}$.

Этап 2: Капиллярная трубка заполнена. После момента времени $t_1$ уровень воды в капилляре не может подниматься выше и остается постоянным: $H_t(t) = h$. В то же время широкий сосуд продолжает наполняться, и уровень $H_v(t)$ продолжает линейно расти. Разность уровней $\Delta H(t) = h - H_v(t) = h - k \cdot t$ начинает линейно уменьшаться. Этот этап длится до момента времени $t_2$, когда уровень воды в широком сосуде сравняется с высотой трубки, то есть $H_v(t_2) = h$. В этот момент разность уровней становится равной нулю: $\Delta H(t_2) = 0$.

Этап 3: Уровни сравнялись. При $t > t_2$ уровни воды в трубке и в сосуде становятся одинаковыми, $H_t(t) = H_v(t)$, и продолжают расти вместе с одинаковой скоростью, так как система ведет себя как обычные сообщающиеся сосуды (капиллярный эффект больше не может поднять воду выше края трубки). Разность уровней $\Delta H(t)$ остается равной нулю.

Зависимость уровня воды в сосуде от времени (H_v(t))

Поскольку капли воды падают через равные промежутки времени, объем поступающей воды пропорционален времени. Так как сосуд широкий (предполагаем, что его сечение постоянно), уровень воды в нем будет расти линейно с течением времени.

График $H_v(t)$ – это прямая линия, выходящая из начала координат и идущая вверх.

Ответ: График зависимости уровня воды в сосуде от времени представляет собой линейно возрастающую функцию, начинающуюся из нуля.

Зависимость уровня воды в трубке от времени (H_t(t))

1. На первом этапе (от $t=0$ до $t=t_1$) уровень в трубке растет линейно, $H_t(t) = k \cdot t + h_{кап}$, от начального значения $h_{кап}$ до $\text{h}$.

2. На втором этапе (от $t=t_1$ до $t=t_2$) трубка полностью заполнена, и уровень в ней постоянен: $H_t(t) = h$.

3. На третьем этапе (при $t > t_2$) уровень в трубке снова начинает расти линейно, синхронно с уровнем в сосуде, $H_t(t) = H_v(t) = k \cdot t$.

Ответ: График зависимости уровня воды в трубке от времени состоит из трех участков: линейного роста от $h_{кап}$ до $\text{h}$, затем горизонтального участка на уровне $\text{h}$, и затем снова линейного роста с той же скоростью, что и у уровня в сосуде.

Зависимость разности уровней от времени (ΔH(t))

1. На первом этапе (от $t=0$ до $t=t_1$) разность уровней постоянна и равна высоте капиллярного подъема: $\Delta H(t) = h_{кап}$.

2. На втором этапе (от $t=t_1$ до $t=t_2$) разность уровней линейно уменьшается от $h_{кап}$ до 0.

3. На третьем этапе (при $t > t_2$) разность уровней равна нулю и остается таковой: $\Delta H(t) = 0$.

Ответ: График зависимости разности уровней от времени состоит из трех участков: горизонтального участка на уровне $h_{кап}$, затем участка линейного убывания до нуля, и затем горизонтального участка на нулевом уровне.