Номер 10.35, страница 59 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.35, страница 59.

Условие.

10.35. На поверхности воды плавает смачиваемый водой кубик с длиной ребра $a = 1,0 \text{ см}$. Верхняя грань кубика горизонтальна. На сколько изменится глубина погружения кубика, если его натереть парафином?

Решение.

Решение 2.

Дано

Длина ребра кубика $a = 1.0 \text{ см}$

Кубик смачивается водой, а затем покрывается парафином (не смачивается).
Плотность воды $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$
Коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma = 0.073 \text{ Н/м}$
Ускорение свободного падения $g = 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$ a = 1.0 \text{ см} = 0.01 \text{ м} $

Найти:

$\Delta h$ - изменение глубины погружения кубика.

Решение

Когда кубик плавает на поверхности жидкости, его вес уравновешивается суммой выталкивающей силы (силы Архимеда) и вертикальной составляющей силы поверхностного натяжения. Условие равновесия для плавающего кубика можно записать в виде:

$F_g = F_A + F_{\sigma, в}$

где $F_g = mg$ – сила тяжести, $F_A = \rho_в g V_{погр} = \rho_в g a^2 h$ – сила Архимеда ($\text{h}$ – глубина погружения), а $F_{\sigma, в} = \sigma P \cos\theta = 4a\sigma\cos\theta$ – вертикальная составляющая силы поверхностного натяжения ($P=4a$ – периметр смачивания, $\theta$ – краевой угол).

Таким образом, уравнение равновесия имеет вид:

$mg = \rho_в g a^2 h + 4a\sigma\cos\theta$

Рассмотрим два случая:

1. Смачиваемый кубик

В случае смачиваемой поверхности (например, чистое дерево и вода), краевой угол $\theta_1 < 90^\circ$. Для идеального смачивания можно принять $\theta_1 = 0^\circ$, тогда $\cos\theta_1 = 1$. Сила поверхностного натяжения направлена вверх, помогая кубику плавать. Обозначим глубину погружения в этом случае через $h_1$.

$mg = \rho_в g a^2 h_1 + 4a\sigma\cos\theta_1 \quad (1)$

2. Несмачиваемый кубик (покрытый парафином)

После покрытия парафином поверхность становится несмачиваемой, и краевой угол $\theta_2 > 90^\circ$. Для идеального несмачивания можно принять $\theta_2 = 180^\circ$, тогда $\cos\theta_2 = -1$. В этом случае сила поверхностного натяжения направлена вниз, дополнительно погружая кубик. Обозначим глубину погружения через $h_2$.

$mg = \rho_в g a^2 h_2 + 4a\sigma\cos\theta_2 \quad (2)$

Масса кубика $\text{m}$ в обоих случаях одинакова (массой слоя парафина пренебрегаем), поэтому можно приравнять правые части уравнений (1) и (2):

$\rho_в g a^2 h_1 + 4a\sigma\cos\theta_1 = \rho_в g a^2 h_2 + 4a\sigma\cos\theta_2$

Перегруппируем члены, чтобы найти изменение глубины погружения $\Delta h = h_2 - h_1$:

$\rho_в g a^2 (h_2 - h_1) = 4a\sigma\cos\theta_1 - 4a\sigma\cos\theta_2$

$\rho_в g a^2 \Delta h = 4a\sigma(\cos\theta_1 - \cos\theta_2)$

Отсюда выражаем $\Delta h$:

$\Delta h = \frac{4\sigma(\cos\theta_1 - \cos\theta_2)}{\rho_в g a}$

Подставим числовые значения, используя предположения об идеальном смачивании ($\cos\theta_1 = 1$) и несмачивании ($\cos\theta_2 = -1$):

$\Delta h = \frac{4 \cdot 0.073 \, \text{Н/м} \cdot (1 - (-1))}{1000 \, \text{кг/м}^3 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 0.01 \, \text{м}} = \frac{4 \cdot 0.073 \cdot 2}{98} = \frac{0.584}{98} \approx 0.00596 \, \text{м}$

Переведем результат в миллиметры:

$0.00596 \, \text{м} = 5.96 \, \text{мм} \approx 6.0 \, \text{мм}$

Так как $\Delta h = h_2 - h_1 > 0$, глубина погружения увеличится.

Ответ: глубина погружения кубика изменится (увеличится) примерно на $6.0 \text{ мм}$.