Номер 10.41, страница 60 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.41, страница 60.

Условие.

10.41*. В длинном открытом с обеих сторон вертикальном капилляре находится столбик воды высотой 2,0 см. Каков радиус $\text{r}$ кривизны нижнего мениска, если внутренний радиус капилляра $R = 0,50\text{ мм}$? Как изменится ответ, если высота столбика воды удвоится?

Решение.

Решение 2.

Каков радиус r кривизны нижнего мениска, если внутренний радиус капилляра R = 0,50 мм?

Дано:

Высота столбика воды, $h_1 = 2,0 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$
Внутренний радиус капилляра, $R = 0,50 \text{ мм} = 0,5 \times 10^{-3} \text{ м}$
Плотность воды, $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$
Коэффициент поверхностного натяжения воды, $\sigma \approx 7,3 \times 10^{-2} \text{ Н/м}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Радиус кривизны нижнего мениска, $r_1$.

Решение:
Столбик воды в капилляре находится в равновесии. Это означает, что сила тяжести, действующая на столбик, уравновешивается силами поверхностного натяжения, действующими на верхнем и нижнем менисках. Условие равновесия можно записать через равенство давлений.

Давление под верхним мениском $p_1$ меньше атмосферного давления $p_{атм}$ на величину лапласовского давления $\Delta p_{верх}$: $p_1 = p_{атм} - \Delta p_{верх}$.
Давление над нижним мениском $p_2$ связано с давлением $p_1$ и гидростатическим давлением столбика воды высотой $h_1$: $p_2 = p_1 + \rho g h_1$.
Также давление $p_2$ связано с атмосферным давлением под нижним мениском. Предположим, что нижний мениск является вогнутым (смачивающим), тогда $p_2 = p_{атм} - \Delta p_{нижн}$.

Подставляя выражения для $p_1$ и $p_2$ в уравнение гидростатики, получаем:
$p_{атм} - \Delta p_{нижн} = (p_{атм} - \Delta p_{верх}) + \rho g h_1$
$\Delta p_{верх} - \Delta p_{нижн} = \rho g h_1$

Лапласовское давление для сферической поверхности определяется формулой $\Delta p = \frac{2\sigma}{r}$, где $\text{r}$ — радиус кривизны.
Для верхнего мениска, предполагая полное смачивание, радиус кривизны равен радиусу капилляра $\text{R}$. Таким образом, $\Delta p_{верх} = \frac{2\sigma}{R}$.
Для нижнего мениска, радиус кривизны которого мы ищем, $\Delta p_{нижн} = \frac{2\sigma}{r_1}$.

Уравнение равновесия принимает вид:
$\frac{2\sigma}{R} - \frac{2\sigma}{r_1} = \rho g h_1$

Выразим отсюда искомую величину $r_1$:
$\frac{1}{r_1} = \frac{1}{R} - \frac{\rho g h_1}{2\sigma}$
$r_1 = \frac{1}{\frac{1}{R} - \frac{\rho g h_1}{2\sigma}}$

Подставим числовые значения:
$\frac{1}{r_1} = \frac{1}{0,5 \times 10^{-3} \text{ м}} - \frac{1000 \text{ кг/м}^3 \times 9,8 \text{ м/с}^2 \times 0,02 \text{ м}}{2 \times 7,3 \times 10^{-2} \text{ Н/м}}$
$\frac{1}{r_1} = 2000 \text{ м}^{-1} - \frac{196}{0,146} \text{ м}^{-1} \approx 2000 - 1342,5 = 657,5 \text{ м}^{-1}$
$r_1 = \frac{1}{657,5 \text{ м}^{-1}} \approx 0,00152 \text{ м} = 1,52 \text{ мм}$

Так как $r_1 > 0$, наше предположение о вогнутой форме нижнего мениска было верным.
Ответ: Радиус кривизны нижнего мениска $r \approx 1,52 \text{ мм}$.

Как изменится ответ, если высота столбика воды удвоится?

Дано:

Новая высота столбика воды, $h_2 = 2h_1 = 4,0 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$

Найти:

Новый радиус кривизны нижнего мениска, $r_2$.

Решение:
Воспользуемся выведенной ранее формулой для обратной величины радиуса кривизны, подставив новую высоту $h_2$:
$\frac{1}{r_2} = \frac{1}{R} - \frac{\rho g h_2}{2\sigma}$
$\frac{1}{r_2} = \frac{1}{0,5 \times 10^{-3} \text{ м}} - \frac{1000 \text{ кг/м}^3 \times 9,8 \text{ м/с}^2 \times 0,04 \text{ м}}{2 \times 7,3 \times 10^{-2} \text{ Н/м}}$
$\frac{1}{r_2} = 2000 \text{ м}^{-1} - \frac{392}{0,146} \text{ м}^{-1} \approx 2000 - 2685 = -685 \text{ м}^{-1}$

Отрицательное значение кривизны ($1/r_2$) означает, что форма мениска изменилась с вогнутой на выпуклую (направленную вниз). В этом случае лапласовское давление под нижним мениском не уменьшает, а увеличивает давление внутри жидкости по сравнению с атмосферным: $p_2 = p_{атм} + \Delta p_{нижн}$.

Условие равновесия тогда запишется как:
$\Delta p_{верх} + \Delta p_{нижн} = \rho g h_2$
$\frac{2\sigma}{R} + \frac{2\sigma}{|r_2|} = \rho g h_2$
$\frac{1}{|r_2|} = \frac{\rho g h_2}{2\sigma} - \frac{1}{R}$

Подставляя значения, получаем:
$\frac{1}{|r_2|} \approx 2685 - 2000 = 685 \text{ м}^{-1}$
$|r_2| = \frac{1}{685 \text{ м}^{-1}} \approx 0,00146 \text{ м} = 1,46 \text{ мм}$

Таким образом, при удвоении высоты столбика воды нижний мениск изменит свою форму с вогнутой на выпуклую.
Ответ: Нижний мениск станет выпуклым, а его радиус кривизны будет равен $|r| \approx 1,46 \text{ мм}$.