Номер 10.42, страница 60 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.42, страница 60.

Условие.

10.42*. Конец стеклянной капиллярной трубки радиусом $r = 0,50 \text{ мм}$ опущен в воду на глубину $h = 2,0 \text{ см}$. Какое избыточное давление $\text{p}$ необходимо создать в трубке, чтобы выдуть пузырек воздуха через ее нижний конец?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус капиллярной трубки, $r = 0,50 \text{ мм}$

Глубина погружения трубки в воду, $h = 2,0 \text{ см}$

Жидкость - вода.

Плотность воды, $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

Коэффициент поверхностного натяжения воды, $\sigma \approx 7,3 \cdot 10^{-2} \text{ Н/м}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$r = 0,50 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$h = 2,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Избыточное давление $\text{p}$.

Решение:

Чтобы выдуть пузырек воздуха из конца капиллярной трубки, давление воздуха внутри трубки должно быть достаточным для преодоления двух давлений: гидростатического давления столба воды на глубине $\text{h}$ и добавочного (капиллярного) давления, обусловленного кривизной поверхности формирующегося пузырька.

Давление $P_{внутр}$ на нижнем конце трубки со стороны воздуха равно сумме атмосферного давления $P_{атм}$ и избыточного давления $\text{p}$, которое необходимо создать:

$P_{внутр} = P_{атм} + p$

Давление $P_{внеш}$ в воде на глубине $\text{h}$ (снаружи будущего пузырька) равно сумме атмосферного давления на поверхности воды и гидростатического давления столба воды:

$P_{внеш} = P_{атм} + \rho g h$

В момент, когда пузырек готов оторваться, его поверхность можно считать полусферой, радиус кривизны которой равен радиусу капилляра $\text{r}$. Давление внутри пузырька $P_{пуз}$ превышает давление снаружи на величину добавочного давления Лапласа $\Delta P_L$:

$P_{пуз} = P_{внеш} + \Delta P_L$

Для сферической поверхности добавочное давление определяется формулой:

$\Delta P_L = \frac{2\sigma}{r}$

Для того чтобы пузырек мог образоваться, давление воздуха в трубке должно быть равно давлению внутри пузырька, то есть $P_{внутр} = P_{пуз}$. Объединим все выражения:

$P_{атм} + p = (P_{атм} + \rho g h) + \frac{2\sigma}{r}$

Сократив атмосферное давление $P_{атм}$ в обеих частях уравнения, получим формулу для искомого избыточного давления $\text{p}$:

$p = \rho g h + \frac{2\sigma}{r}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

Гидростатическое давление:

$p_h = \rho g h = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 2,0 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 196 \text{ Па}$

Капиллярное давление:

$p_\sigma = \frac{2\sigma}{r} = \frac{2 \cdot 7,3 \cdot 10^{-2} \text{ Н/м}}{0,50 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{0,146 \text{ Н/м}}{0,0005 \text{ м}} = 292 \text{ Па}$

Суммарное избыточное давление:

$p = p_h + p_\sigma = 196 \text{ Па} + 292 \text{ Па} = 488 \text{ Па}$

Ответ: $p = 488 \text{ Па}$.