Номер 10.49, страница 61 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.49, страница 61.

Условие.

10.49. При изготовлении некоторых точных приборов необходимо обеспечить постоянство разности длин двух стержней при изменении температуры. Какие длины должны иметь железный и медный стержни при 0 °С, чтобы разность их длин $\Delta l$ не зависела от температуры и оставалась равной 10 см?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная температура $T_0 = 0$ °C

Постоянная разность длин стержней $\Delta l = 10$ см

Материалы стержней: железо (ж) и медь (м)

Коэффициент линейного теплового расширения железа $\alpha_ж = 1.2 \cdot 10^{-5}$ К⁻¹ (справочное значение)

Коэффициент линейного теплового расширения меди $\alpha_м = 1.7 \cdot 10^{-5}$ К⁻¹ (справочное значение)

$\Delta l = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$l_{ж0}$ — начальная длина железного стержня?

$l_{м0}$ — начальная длина медного стержня?

Решение:

Длина тела при изменении температуры на $\Delta T$ определяется формулой линейного теплового расширения:

$l = l_0(1 + \alpha \Delta T)$

где $l_0$ — начальная длина тела, $\text{l}$ — конечная длина, $\alpha$ — коэффициент линейного теплового расширения.

Запишем выражения для длин железного ($l_ж$) и медного ($l_м$) стержней при изменении температуры на $\Delta T$:

$l_ж = l_{ж0}(1 + \alpha_ж \Delta T)$

$l_м = l_{м0}(1 + \alpha_м \Delta T)$

Здесь $l_{ж0}$ и $l_{м0}$ — искомые длины стержней при 0 °C.

Коэффициент теплового расширения меди больше, чем у железа ($\alpha_м > \alpha_ж$). Чтобы разность длин оставалась постоянной, абсолютное удлинение обоих стержней ($\Delta L = l_0 \alpha \Delta T$) при нагреве должно быть одинаковым. Это возможно, если стержень с большим коэффициентом расширения (медный) будет изначально короче стержня с меньшим коэффициентом расширения (железного). Следовательно, разность длин можно записать как $\Delta l = l_ж - l_м$.

Запишем выражение для разности длин стержней при температуре $\text{T}$:

$\Delta l(T) = l_ж - l_м = l_{ж0}(1 + \alpha_ж \Delta T) - l_{м0}(1 + \alpha_м \Delta T)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$\Delta l(T) = (l_{ж0} - l_{м0}) + (l_{ж0}\alpha_ж - l_{м0}\alpha_м)\Delta T$

По условию задачи, разность длин $\Delta l$ не зависит от температуры. Это означает, что член, содержащий $\Delta T$, должен быть равен нулю:

$l_{ж0}\alpha_ж - l_{м0}\alpha_м = 0$

Из этого следует первое уравнение:

$l_{ж0}\alpha_ж = l_{м0}\alpha_м$

При выполнении этого условия разность длин $\Delta l(T)$ становится постоянной и равной начальной разности длин, которая по условию составляет 10 см:

$\Delta l = l_{ж0} - l_{м0} = 10 \text{ см}$

Это второе уравнение. Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $l_{ж0}$ и $l_{м0}$:

$\begin{cases} l_{ж0} - l_{м0} = 10 \\ l_{ж0}\alpha_ж = l_{м0}\alpha_м \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $l_{ж0}$:

$l_{ж0} = l_{м0} + 10$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(l_{м0} + 10)\alpha_ж = l_{м0}\alpha_м$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $l_{м0}$:

$l_{м0}\alpha_ж + 10\alpha_ж = l_{м0}\alpha_м$

$10\alpha_ж = l_{м0}\alpha_м - l_{м0}\alpha_ж$

$10\alpha_ж = l_{м0}(\alpha_м - \alpha_ж)$

Отсюда находим начальную длину медного стержня $l_{м0}$:

$l_{м0} = \frac{10 \cdot \alpha_ж}{\alpha_м - \alpha_ж}$

Подставим числовые значения. Расчеты удобно вести в сантиметрах.

$l_{м0} = \frac{10 \text{ см} \cdot 1.2 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}}{1.7 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1} - 1.2 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}} = \frac{10 \cdot 1.2 \cdot 10^{-5}}{0.5 \cdot 10^{-5}} \text{ см} = \frac{12}{0.5} \text{ см} = 24 \text{ см}$

Теперь найдем начальную длину железного стержня $l_{ж0}$:

$l_{ж0} = l_{м0} + 10 \text{ см} = 24 \text{ см} + 10 \text{ см} = 34 \text{ см}$

Ответ: При 0 °C длина железного стержня должна быть 34 см, а медного — 24 см.