Номер 10.54, страница 61 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.54, страница 61.

Условие.

10.54. Железобетонная колонна сжата силой $\text{F}$. Какая часть нагрузки приходится на железо, если площадь поперечного сечения железа $S_{\text{ж}}$ в 20 раз меньше площади поперечного сечения бетона $S_{\text{б}}$, а модуль упругости железа $E_{\text{ж}}$ в 10 раз больше модуля упругости бетона $E_{\text{б}}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$S_б = 20 S_ж$

$E_ж = 10 E_б$

Найти:

$\frac{F_ж}{F} - ?$

Решение:

Железобетонная колонна представляет собой композитную конструкцию, в которой арматура (железо) и бетон скреплены вместе. При сжатии колонны внешней силой $\text{F}$ и железо, и бетон деформируются (сжимаются) на одинаковую величину, поскольку они составляют единое целое. Это означает, что их относительные деформации (удлинения) $\epsilon$ равны:

$\epsilon_ж = \epsilon_б$

где $\epsilon_ж$ — относительная деформация железа, а $\epsilon_б$ — относительная деформация бетона.

Согласно закону Гука, механическое напряжение $\sigma$ связано с относительной деформацией $\epsilon$ и модулем упругости (модулем Юнга) $\text{E}$ соотношением:

$\sigma = E \cdot \epsilon$

Механическое напряжение также определяется как сила, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения:

$\sigma = \frac{F}{S}$

Приравняв два выражения для напряжения, получим: $\frac{F}{S} = E \epsilon$, откуда можно выразить относительную деформацию:

$\epsilon = \frac{F}{E S}$

Подставим это выражение в условие равенства деформаций:

$\frac{F_ж}{E_ж S_ж} = \frac{F_б}{E_б S_б}$

Здесь $F_ж$ и $F_б$ — силы, действующие на железо и бетон соответственно. Выразим силу, действующую на бетон, через силу, действующую на железо:

$F_б = F_ж \cdot \frac{E_б S_б}{E_ж S_ж}$

Теперь подставим в это уравнение известные из условия соотношения: $S_б = 20 S_ж$ и $E_ж = 10 E_б$.

$F_б = F_ж \cdot \frac{E_б (20 S_ж)}{(10 E_б) S_ж} = F_ж \cdot \frac{20}{10} = 2 F_ж$

Таким образом, нагрузка на бетон в 2 раза больше, чем на железо.

Общая сжимающая сила $\text{F}$ распределяется между железом и бетоном:

$F = F_ж + F_б$

Подставим найденное соотношение $F_б = 2 F_ж$:

$F = F_ж + 2 F_ж = 3 F_ж$

Отсюда мы можем найти, какая часть общей нагрузки $\text{F}$ приходится на железо, то есть найти отношение $\frac{F_ж}{F}$:

$\frac{F_ж}{F} = \frac{F_ж}{3 F_ж} = \frac{1}{3}$

Ответ: на железо приходится $1/3$ часть нагрузки.