Номер 10.55, страница 61 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.55, страница 61.

Условие.

10.55. Из скольких стальных проволок диаметром $d = 2,0 \text{ мм}$ должен состоять трос, рассчитанный на подъем груза массой $m = 16 \text{ т}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$d = 2,0 \text{ мм}$

$m = 16 \text{ т}$

Перевод в систему СИ:

$d = 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$m = 16 \cdot 10^3 \text{ кг}$

Найти:

$\text{n}$ - количество проволок.

Решение:

Трос должен выдерживать вес поднимаемого груза $\text{F}$, который равен силе тяжести:

$F = m \cdot g$

где $\text{g}$ - ускорение свободного падения. Примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Рассчитаем силу натяжения троса:

$F = 16 \cdot 10^3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 160 \cdot 10^3 \text{ Н} = 1,6 \cdot 10^5 \text{ Н}$.

Механическое напряжение $\sigma$ в материале троса равно отношению силы $\text{F}$ к общей площади поперечного сечения $S_{общ}$ всех проволок:

$\sigma = \frac{F}{S_{общ}}$

Для того чтобы трос не порвался, создаваемое напряжение не должно превышать предел прочности стали на разрыв $[\sigma]$. В условии задачи этот параметр не указан, поэтому воспользуемся табличным значением для стали: $[\sigma] \approx 500 \text{ МПа} = 5 \cdot 10^8 \text{ Па}$.

Условие прочности троса выглядит так:

$\frac{F}{S_{общ}} \le [\sigma]$

Общая площадь поперечного сечения $S_{общ}$ складывается из площадей сечения $\text{n}$ отдельных проволок $S_1$:

$S_{общ} = n \cdot S_1$

Площадь поперечного сечения одной проволоки (круг) с диаметром $\text{d}$ вычисляется по формуле:

$S_1 = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим числовые значения:

$S_1 = \frac{3,14 \cdot (2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2}{4} = \frac{3,14 \cdot 4 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{4} = 3,14 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$.

Теперь из условия прочности найдем минимально необходимое количество проволок $\text{n}$:

$\frac{F}{n \cdot S_1} \le [\sigma] \implies n \ge \frac{F}{[\sigma] \cdot S_1}$

Подставим известные величины:

$n \ge \frac{1,6 \cdot 10^5 \text{ Н}}{(5 \cdot 10^8 \text{ Па}) \cdot (3,14 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2)} = \frac{1,6 \cdot 10^5}{15,7 \cdot 10^2} = \frac{160000}{1570} \approx 101,91$

Так как количество проволок $\text{n}$ может быть только целым числом, необходимо округлить полученное значение в большую сторону, чтобы обеспечить достаточный запас прочности.

$n = 102$

Ответ: трос должен состоять из 102 стальных проволок.