Номер 10.51, страница 61 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.51, страница 61.

Условие.

10.51. Концы горизонтального стального стержня сечением $S = 2,0 \text{ см}^2$ прочно закреплены при температуре $t_1 = 15 \text{ °C}$. С какой силой $\text{F}$ стержень будет сжат, если его нагреть до $t_2 = 150 \text{ °C}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Площадь поперечного сечения стального стержня, $S = 2,0 \text{ см}^2$.

Начальная температура, $t_1 = 15 \text{ }^\circ\text{C}$.

Конечная температура, $t_2 = 150 \text{ }^\circ\text{C}$.

Стержень изготовлен из стали, поэтому используем справочные данные:

Коэффициент линейного теплового расширения стали, $\alpha \approx 1,2 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}$.

Модуль Юнга для стали, $E \approx 2,0 \cdot 10^{11} \text{ Па}$.

Перевод в систему СИ:

$S = 2,0 \text{ см}^2 = 2,0 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 2,0 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению в Кельвинах:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 150 \text{ }^\circ\text{C} - 15 \text{ }^\circ\text{C} = 135 \text{ }^\circ\text{C}$.

$\Delta T = 135 \text{ К}$.

Найти:

Силу сжатия, $\text{F}$.

Решение:

При нагревании стержень стремится удлиниться. Если бы его концы не были закреплены, его длина $L_0$ увеличилась бы на величину $\Delta L_T$, которая определяется по формуле теплового линейного расширения:

$\Delta L_T = \alpha L_0 \Delta t$

где $\alpha$ – коэффициент линейного теплового расширения, $L_0$ – начальная длина стержня, $\Delta t$ – изменение температуры.

Относительное удлинение (деформация) при свободном расширении было бы равно:

$\varepsilon_T = \frac{\Delta L_T}{L_0} = \alpha \Delta t$

Однако, поскольку концы стержня прочно закреплены, его длина не может измениться. Это означает, что в стержне возникает механическое напряжение сжатия $\sigma$, которое препятствует тепловому расширению. Это напряжение создает упругую деформацию сжатия $\varepsilon_у$, которая по величине равна деформации теплового расширения:

$\varepsilon_у = \varepsilon_T = \alpha \Delta t$

Согласно закону Гука, механическое напряжение $\sigma$ связано с относительной деформацией $\varepsilon_у$ через модуль упругости (модуль Юнга) $\text{E}$:

$\sigma = E \varepsilon_у = E \alpha \Delta t$

Механическое напряжение также определяется как сила упругости $\text{F}$, действующая на единицу площади поперечного сечения $\text{S}$:

$\sigma = \frac{F}{S}$

Приравнивая два выражения для напряжения, получаем:

$\frac{F}{S} = E \alpha \Delta t$

Отсюда выражаем силу сжатия $\text{F}$:

$F = E \cdot \alpha \cdot \Delta t \cdot S$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$F = (2,0 \cdot 10^{11} \text{ Па}) \cdot (1,2 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}) \cdot (135 \text{ К}) \cdot (2,0 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2)$

$F = (2,0 \cdot 1,2 \cdot 135 \cdot 2,0) \cdot (10^{11} \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-4}) \text{ Н}$

$F = 648 \cdot 10^{11-5-4} \text{ Н} = 648 \cdot 10^2 \text{ Н} = 64800 \text{ Н}$

Силу можно выразить в килоньютонах:

$F = 64,8 \text{ кН}$

Ответ:

Стержень будет сжат с силой $F = 64,8 \text{ кН}$.