Номер 10.44, страница 60 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.44, страница 60.

Условие.

10.44*. Стеклянная капиллярная трубка, внутренний диаметр которой $d = 0,50 \text{ мм}$, вертикально погружена в воду. Верхний конец трубки выступает на $h = 2,0 \text{ см}$ над поверхностью воды. Какую форму имеет мениск?

Решение.

Решение 2.

Дано

Внутренний диаметр трубки, $d = 0,50 \text{ мм} = 0,50 \times 10^{-3} \text{ м}$
Высота выступающей части трубки, $h = 2,0 \text{ см} = 2,0 \times 10^{-2} \text{ м}$
Радиус трубки, $r = d/2 = 0,25 \times 10^{-3} \text{ м}$
Жидкость - вода, трубка - стеклянная.
Справочные данные:
Плотность воды, $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$
Коэффициент поверхностного натяжения воды, $\sigma \approx 7,3 \times 10^{-2} \text{ Н/м}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$
Для полного смачивания (вода на чистом стекле) краевой угол $\theta \approx 0$, поэтому $\cos\theta \approx 1$.

Найти:

Форму мениска.

Решение:

Сначала определим максимальную высоту $H_{max}$, на которую могла бы подняться вода в данной капиллярной трубке, если бы ее длина была достаточной. Высота капиллярного подъема определяется по формуле Жюрена:

$H_{max} = \frac{2 \sigma \cos\theta}{\rho g r}$

Подставим известные значения, учитывая, что для полного смачивания $\cos\theta \approx 1$:

$H_{max} = \frac{2 \cdot 7,3 \cdot 10^{-2} \text{ Н/м}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,25 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx 0,0596 \text{ м} = 5,96 \text{ см}$.

Теперь сравним вычисленную максимальную высоту подъема $H_{max}$ с высотой выступающей части трубки $h = 2,0 \text{ см}$.

Так как $H_{max} \approx 5,96 \text{ см} > h = 2,0 \text{ см}$, вода не сможет подняться на максимальную высоту. Она поднимется до верхнего края трубки, то есть на всю доступную высоту $\text{h}$.

Когда высота подъема жидкости в капилляре меньше максимально возможной, форма мениска изменяется. Он становится более плоским, чем полусфера. Форма мениска по-прежнему является сегментом сферы, но его радиус кривизны $\text{R}$ будет больше радиуса капилляра $\text{r}$.

Радиус кривизны $\text{R}$ можно определить из условия, что гидростатическое давление столба жидкости высотой $\text{h}$ уравновешивается лапласовским давлением под искривленной поверхностью мениска:

$\rho g h = \frac{2\sigma}{R}$

Выразим отсюда радиус кривизны $\text{R}$:

$R = \frac{2\sigma}{\rho g h}$

Подставим числовые значения:

$R = \frac{2 \cdot 7,3 \cdot 10^{-2} \text{ Н/м}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 2,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}} = \frac{0,146}{196} \approx 0,000745 \text{ м} = 0,745 \text{ мм}$.

Округляя до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи), получаем $R \approx 0,74 \text{ мм}$.

Таким образом, мениск будет иметь форму сферического сегмента с радиусом кривизны $R \approx 0,74 \text{ мм}$. Это значение больше радиуса капилляра ($r = 0,25 \text{ мм}$), что подтверждает, что мениск является более плоским, чем полусфера.

Ответ: Мениск имеет форму сферического сегмента, который является более плоским, чем полусфера, с радиусом кривизны около 0,74 мм.