Номер 10.39, страница 59 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.39, страница 59.

Условие.

10.39*. Радиусы колен открытой с двух сторон U-образной стеклянной трубки $r_1 = 1,0 \text{ мм}$, $r_2 = 2,0 \text{ мм}$. В трубку налита ртуть. К какому колену трубки следует присоединить откачивающий насос и какую разность давлений $\Delta p$ в коленах трубки должен он создать, чтобы уровни ртути в обоих коленах оказались одинаковыми? Ртуть не смачивает стекло.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиусы колен U-образной трубки:
$r_1 = 1,0 \text{ мм}$
$r_2 = 2,0 \text{ мм}$
Жидкость в трубке - ртуть.
Условие: ртуть не смачивает стекло (краевой угол $\theta > 90^\circ$).

Перевод в систему СИ:
$r_1 = 1,0 \times 10^{-3} \text{ м}$
$r_2 = 2,0 \times 10^{-3} \text{ м}$

Справочные данные:
Коэффициент поверхностного натяжения ртути $\sigma \approx 0,47 \text{ Н/м}$.
Для ртути на стекле краевой угол $\theta$ близок к $180^\circ$, поэтому для простоты расчетов принимаем $|\cos\theta| \approx 1$.

Найти:

1. Колено, к которому следует присоединить насос.
2. Разность давлений $\Delta p$, которую должен создать насос.

Решение:

Из-за кривизны поверхности жидкости возникает дополнительное (лапласовское) давление. Так как ртуть не смачивает стекло, ее мениск в трубке является выпуклым (если смотреть со стороны воздуха). Давление всегда выше со стороны вогнутой части поверхности, следовательно, в данном случае давление в жидкости (ртути) непосредственно под мениском будет выше, чем давление газа над ним.

Величина этого добавочного давления в каждом колене определяется формулой:$\Delta p_L = \frac{2\sigma|\cos\theta|}{r}$

Пусть $p_1$ и $p_2$ – это давления газа над поверхностью ртути в коленах с радиусами $r_1$ и $r_2$ соответственно. Тогда полные давления в ртути сразу под менисками будут равны:$p_{1,liquid} = p_1 + \frac{2\sigma|\cos\theta|}{r_1}$
$p_{2,liquid} = p_2 + \frac{2\sigma|\cos\theta|}{r_2}$

Для того чтобы уровни ртути в обоих коленах были одинаковыми, необходимо, чтобы давления в жидкости на этих уровнях были равны (условие гидростатического равновесия):$p_{1,liquid} = p_{2,liquid}$
$p_1 + \frac{2\sigma|\cos\theta|}{r_1} = p_2 + \frac{2\sigma|\cos\theta|}{r_2}$

Из этого уравнения выразим разность давлений газа в коленах $\Delta p$:$\Delta p = p_2 - p_1 = \frac{2\sigma|\cos\theta|}{r_1} - \frac{2\sigma|\cos\theta|}{r_2} = 2\sigma|\cos\theta| \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$

К какому колену трубки следует присоединить откачивающий насос

Проанализируем полученное выражение для разности давлений $\Delta p = p_2 - p_1$. Поскольку по условию $r_1 < r_2$, то $\frac{1}{r_1} > \frac{1}{r_2}$, и, следовательно, вся правая часть уравнения положительна. Таким образом, $\Delta p > 0$, что означает $p_2 > p_1$. Давление газа в узком колене (с радиусом $r_1$) должно быть меньше, чем в широком колене (с радиусом $r_2$). Откачивающий насос служит для понижения давления, поэтому его следует присоединить к колену, где требуется меньшее давление, то есть к колену с меньшим радиусом $r_1$.
Ответ: Откачивающий насос следует присоединить к колену с радиусом $r_1 = 1,0 \text{ мм}$.

Какую разность давлений Δp в коленах трубки должен он создать

Подставим числовые значения в выведенную формулу для расчета разности давлений:$\Delta p = 2\sigma|\cos\theta| \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = 2 \cdot 0,47 \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot 1 \cdot \left( \frac{1}{1,0 \times 10^{-3} \text{ м}} - \frac{1}{2,0 \times 10^{-3} \text{ м}} \right)$
$\Delta p = 0,94 \cdot \left( 1000 \frac{1}{\text{м}} - 500 \frac{1}{\text{м}} \right)$
$\Delta p = 0,94 \cdot 500 \frac{\text{Н}}{\text{м}^2} = 470 \text{ Па}$
Ответ: Насос должен создать разность давлений $\Delta p = 470 \text{ Па}$.