Номер 10.34, страница 59 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.34, страница 59.

Условие.

10.34. Смачиваемый водой кубик массой $m = 4$ г плавает на поверхности воды. Длина ребра кубика $a = 3,0$ см. На какой глубине $\text{h}$ находится нижняя грань кубика?

Решение.

Решение 2.

Дано

Масса кубика, $m = 4$ г

Длина ребра кубика, $a = 3,0$ см

Перевод в систему СИ:

$m = 4 \cdot 10^{-3}$ кг

$a = 3,0 \cdot 10^{-2}$ м

Справочные данные:

Плотность воды, $\rho_в \approx 1000$ кг/м³

Коэффициент поверхностного натяжения воды, $\sigma \approx 7,3 \cdot 10^{-2}$ Н/м

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Глубина погружения нижней грани кубика, $\text{h}$ - ?

Решение

Когда кубик плавает на поверхности воды, он находится в равновесии. Это означает, что сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. На кубик действуют три силы в вертикальном направлении:

1. Сила тяжести $F_т = mg$, направленная вниз.

2. Архимедова сила (выталкивающая сила) $F_А = \rho_в g V_{погр}$, направленная вверх. Здесь $V_{погр}$ — объем погруженной части кубика.

3. Сила поверхностного натяжения $F_н$. Поскольку кубик смачиваемый, вода поднимается вдоль его стенок. Сила поверхностного натяжения действует вдоль линии соприкосновения жидкости с телом (периметра кубика) и направлена по касательной к поверхности жидкости. Для смачиваемого тела эта сила будет иметь вертикальную составляющую, направленную вниз. В случае полного смачивания (что обычно подразумевается, если не указан угол смачивания), эта сила направлена вертикально вниз и равна $F_н = \sigma P$, где $\text{P}$ — периметр сечения кубика на уровне воды. Периметр $P = 4a$.

Условие равновесия кубика в вертикальном направлении:

$F_А = F_т + F_н$

Объем погруженной части кубика равен $V_{погр} = a^2 h$, где $\text{h}$ — искомая глубина погружения.

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:

$\rho_в g a^2 h = mg + \sigma (4a)$

Выразим из этого уравнения глубину $\text{h}$:

$h = \frac{mg + 4\sigma a}{\rho_в g a^2} = \frac{m}{\rho_в a^2} + \frac{4\sigma}{\rho_в g a}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$h = \frac{4 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м³} \cdot (3,0 \cdot 10^{-2} \text{ м})^2} + \frac{4 \cdot 7,3 \cdot 10^{-2} \text{ Н/м}}{1000 \text{ кг/м³} \cdot 9,8 \text{ м/с²} \cdot 3,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}}$

$h = \frac{4 \cdot 10^{-3}}{1000 \cdot 9,0 \cdot 10^{-4}} + \frac{29,2 \cdot 10^{-2}}{294}$

$h = \frac{4 \cdot 10^{-3}}{0,9} + \frac{0,292}{294} \approx 0,00444 \text{ м} + 0,00099 \text{ м}$

$h \approx 0,00543 \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры:

$h \approx 5,43 \text{ мм}$

С учетом точности исходных данных (две значащие цифры), округлим результат.

Ответ: $h \approx 5,4$ мм.