Номер 10.36, страница 59 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.36, страница 59.

Условие.

10.36* Какой радиус должна иметь алюминиевая проволока, чтобы ее кусок длиной $l = 2 \text{ см}$, натертый парафином, мог «плавать» в воде вертикально, погрузившись ровно наполовину?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$l = 2 \text{ см}$

Материал проволоки - алюминий.

Проволока плавает в воде, погрузившись на половину длины.

Примем справочные значения:

Плотность алюминия $ \rho_{Al} = 2700 \text{ кг/м}^3 $.

Плотность воды $ \rho_{H_2O} = 1000 \text{ кг/м}^3 $.

Коэффициент поверхностного натяжения воды $ \sigma \approx 0.073 \text{ Н/м} $.

Ускорение свободного падения $ g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 $.

Переведем данные в систему СИ:

$ l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м} $.

Найти:

Радиус проволоки $\text{r}$.

Решение:

Проволока находится в равновесии ("плавает"), следовательно, сумма сил, действующих на нее, равна нулю. Рассмотрим силы, действующие на проволоку в вертикальном направлении.

1. Сила тяжести $F_g$, направленная вниз. Она равна произведению массы проволоки $\text{m}$ на ускорение свободного падения $\text{g}$. Массу найдем через плотность алюминия $ \rho_{Al} $ и объем проволоки $V = \pi r^2 l$, где $\text{r}$ - искомый радиус.

$F_g = m g = \rho_{Al} V g = \rho_{Al} \pi r^2 l g$

2. Выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вверх. Она равна весу вытесненной жидкости. Так как проволока погружена на половину своей длины $l/2$, объем погруженной части $V_{sub}$ равен $ \frac{1}{2} V = \frac{\pi r^2 l}{2} $.

$F_A = \rho_{H_2O} g V_{sub} = \rho_{H_2O} g \frac{\pi r^2 l}{2}$

3. Сила поверхностного натяжения $F_\sigma$. Плотность алюминия ($2700 \text{ кг/м}^3$) значительно больше плотности воды ($1000 \text{ кг/м}^3$), поэтому одна лишь сила Архимеда не может уравновесить силу тяжести (даже если проволока погружена полностью, $F_A < F_g$). Для того чтобы проволока плавала, необходима дополнительная поддерживающая сила, которой является сила поверхностного натяжения. Следовательно, она должна быть направлена вверх. Эта сила действует вдоль линии соприкосновения проволоки с водой, то есть по периметру её сечения $P = 2\pi r$.

$F_\sigma = \sigma P = \sigma \cdot 2\pi r$

Условие равновесия: сила тяжести уравновешивается суммой выталкивающей силы и силы поверхностного натяжения.

$F_g = F_A + F_\sigma$

Подставим выражения для сил в это уравнение:

$\rho_{Al} \pi r^2 l g = \rho_{H_2O} g \frac{\pi r^2 l}{2} + \sigma \cdot 2\pi r$

Для нахождения радиуса $\text{r}$ преобразуем уравнение. Перенесем член с $r^2$ в левую часть и разделим обе части на $\pi r$ (так как радиус $\text{r}$ не может быть равен нулю):

$\rho_{Al} \pi r^2 l g - \rho_{H_2O} g \frac{\pi r^2 l}{2} = 2\pi r \sigma$

$\pi r^2 g l (\rho_{Al} - \frac{\rho_{H_2O}}{2}) = 2\pi r \sigma$

$r g l (\rho_{Al} - \frac{\rho_{H_2O}}{2}) = 2\sigma$

Выразим радиус $\text{r}$:

$r = \frac{2\sigma}{g l (\rho_{Al} - \frac{\rho_{H_2O}}{2})}$

Подставим числовые значения:

$r = \frac{2 \cdot 0.073 \text{ Н/м}}{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.02 \text{ м} \cdot (2700 \text{ кг/м}^3 - \frac{1000 \text{ кг/м}^3}{2})}$

$r = \frac{0.146}{0.196 \cdot (2700 - 500)} = \frac{0.146}{0.196 \cdot 2200} = \frac{0.146}{431.2} \approx 0.0003386 \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры для удобства:

$r \approx 0.3386 \text{ мм}$

Округлим до двух значащих цифр:

$r \approx 0.34 \text{ мм}$

Ответ: радиус алюминиевой проволоки должен быть примерно $0.34 \text{ мм}$.