Номер 10.37, страница 59 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.37, страница 59.

Условие.

10.37. Оцените максимальный размер капель воды, которые могут висеть на потолке.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Плотность воды, $ \rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3 $

Коэффициент поверхностного натяжения воды (на границе с воздухом при 20°C), $ \sigma \approx 7.3 \cdot 10^{-2} \text{ Н/м} $

Ускорение свободного падения, $ g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 $

Найти:

Максимальный размер капли $ D_{max} $.

Решение:

Капля воды может висеть на потолке, пока сила поверхностного натяжения, удерживающая ее, уравновешивает или превышает силу тяжести, которая тянет каплю вниз. Максимальный размер капли достигается в момент, когда сила тяжести становится равной максимальной удерживающей силе поверхностного натяжения.

Сила тяжести, действующая на каплю, вычисляется по формуле:

$ F_g = m g = \rho V g $

где $ m $ – масса капли, $ V $ – ее объем, $ \rho $ – плотность воды, а $ g $ – ускорение свободного падения.

Сила поверхностного натяжения действует по периметру контакта капли с потолком. Ее величина определяется как:

$ F_\sigma = \sigma L $

где $ \sigma $ – коэффициент поверхностного натяжения воды, а $ L $ – длина периметра контакта.

Для оценки максимального размера капли необходимо сделать предположение о ее форме. Будем считать, что в предельном состоянии, перед самым отрывом, капля принимает форму полусферы радиусом $ R $. В этом случае линия контакта капли с потолком представляет собой окружность радиусом $ R $, и ее длина (периметр) составляет $ L = 2\pi R $. Объем такой полусферической капли равен $ V = \frac{2}{3}\pi R^3 $.

Условие равновесия для капли максимального размера имеет вид:

$ F_g = F_\sigma $

Подставим в это равенство выражения для сил, а также для объема и периметра через радиус $ R $:

$ \rho \left(\frac{2}{3}\pi R^3\right) g = \sigma (2\pi R) $

Сократим обе части уравнения на $ 2\pi R $ (так как радиус $ R $ не равен нулю):

$ \frac{1}{3} \rho g R^2 = \sigma $

Из этого уравнения выразим максимальный радиус капли $ R $:

$ R^2 = \frac{3\sigma}{\rho g} $

$ R = \sqrt{\frac{3\sigma}{\rho g}} $

Теперь подставим числовые значения физических величин и выполним расчет:

$ R = \sqrt{\frac{3 \cdot 7.3 \cdot 10^{-2} \text{ Н/м}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{0.219}{9800}} \approx \sqrt{2.23 \cdot 10^{-5}} \approx 0.0047 \text{ м} $

Таким образом, максимальный радиус капли составляет приблизительно 4.7 мм.

Максимальный размер капли принято характеризовать ее диаметром $ D_{max} $. Он будет вдвое больше радиуса:

$ D_{max} = 2R = 2 \cdot 4.7 \text{ мм} = 9.4 \text{ мм} $

Ответ: Оценка максимального размера (диаметра) капли воды, которая может висеть на потолке, составляет примерно 9.4 мм.