Номер 10.33, страница 59 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.33, страница 59.

Условие.

10.33. Длинная, открытая с обоих концов тонкостенная капиллярная трубка радиусом $r = 1,0 \text{ мм}$ расположена вертикально. Какова максимально возможная высота $\text{h}$ столба воды, находящейся в трубке?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус капиллярной трубки, $r = 1.0 \text{ мм}$

Жидкость – вода.

Плотность воды, $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение)

Коэффициент поверхностного натяжения воды, $\sigma \approx 0.073 \text{ Н/м}$ (табличное значение при 20°C)

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$r = 1.0 \text{ мм} = 1.0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Максимально возможная высота столба воды, $\text{h}$

Решение:

Столб воды в вертикальной капиллярной трубке, которая открыта с обоих концов, удерживается от падения силами поверхностного натяжения. Эти силы действуют на обеих границах столба воды с воздухом: на верхнем и на нижнем мениске.

На столб воды действует сила тяжести, направленная вниз:

$F_g = mg$

Массу воды $\text{m}$ можно выразить через ее плотность $\rho$ и объем $\text{V}$. Объем столба воды, принимая его за цилиндр, равен $V = \pi r^2 h$. Тогда сила тяжести:

$F_g = \rho \pi r^2 h g$

Силы поверхностного натяжения действуют вдоль линии соприкосновения воды, стенки трубки и воздуха. Поскольку трубка открыта с обеих сторон, существуют две такие линии, соответствующие верхнему и нижнему менискам. Вода смачивает стекло, поэтому верхний мениск будет вогнутым, а нижний – выпуклым. Обе силы поверхностного натяжения создают вертикальную составляющую, направленную вверх, которая и удерживает столб воды.

Для каждой поверхности сила поверхностного натяжения равна $F_{s1} = \sigma L$, где $L = 2\pi r$ - длина линии контакта. При условии полного смачивания (краевой угол $\theta = 0$), эта сила направлена вертикально вверх. Таким образом, суммарная удерживающая сила от двух менисков равна:

$F_{s_{общ}} = F_{s_{верх}} + F_{s_{ниж}} = 2\pi r \sigma + 2\pi r \sigma = 4\pi r \sigma$

Максимальная высота столба воды достигается, когда сила тяжести уравновешивается максимальной силой поверхностного натяжения:

$F_g = F_{s_{общ}}$

$\rho \pi r^2 h g = 4\pi r \sigma$

Отсюда выражаем высоту $\text{h}$:

$h = \frac{4\pi r \sigma}{\rho \pi r^2 g} = \frac{4\sigma}{\rho g r}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{4 \cdot 0.073 \text{ Н/м}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1.0 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{0.292}{9.8} \approx 0.0298 \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры:

$h \approx 0.0298 \text{ м} = 29.8 \text{ мм}$

Ответ: максимально возможная высота столба воды в трубке составляет примерно $29.8 \text{ мм}$.