Номер 10.38, страница 59 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.38, страница 59.

Условие.

10.38*. Докажите, что избыточное давление в жидкости под ее цилиндрической поверхностью радиусом $\text{R}$ равно $\sigma/R$, а под сферической поверхностью $2\sigma/R$.

Решение.

Решение 2.

Решение

Избыточное, или лапласовское, давление ($\Delta p$) под искривленной поверхностью жидкости создается силами поверхностного натяжения ($\sigma$). Докажем формулы для этого давления в двух случаях: для цилиндрической и сферической поверхностей, используя метод рассмотрения равновесия сил.

Избыточное давление под цилиндрической поверхностью

Рассмотрим мысленно часть столба жидкости, ограниченного цилиндрической поверхностью радиусом $\text{R}$ и длиной $\text{L}$. Разрежем этот цилиндр пополам вдоль оси. Рассмотрим равновесие одной из половин. На площадь продольного сечения $S = 2RL$ действует сила $F_p$, обусловленная избыточным давлением. Эта сила стремится разорвать цилиндр и равна:

$F_p = \Delta p \cdot S = \Delta p \cdot 2RL$

Уравновешивающая её сила — это сила поверхностного натяжения $F_\sigma$, действующая на границе поверхности жидкости вдоль двух линий разреза. Общая длина этих линий равна $\text{2L}$. Таким образом, сила поверхностного натяжения равна:

$F_\sigma = \sigma \cdot 2L$

В состоянии равновесия эти силы равны: $F_p = F_\sigma$.

$\Delta p \cdot 2RL = \sigma \cdot 2L$

Сократив обе части уравнения на $\text{2L}$, получим формулу для избыточного давления под цилиндрической поверхностью:

$\Delta p = \frac{\sigma}{R}$

Ответ: Доказано, что избыточное давление в жидкости под ее цилиндрической поверхностью радиусом $\text{R}$ равно $\sigma/R$.

Избыточное давление под сферической поверхностью

Рассмотрим каплю жидкости сферической формы радиусом $\text{R}$. Мысленно разделим сферу на две полусферы. Рассмотрим равновесие одной из них. Сила избыточного давления $F_p$ действует на площадь сечения (круга) $S = \pi R^2$ и стремится разорвать сферу:

$F_p = \Delta p \cdot S = \Delta p \cdot \pi R^2$

Этой силе противодействует сила поверхностного натяжения $F_\sigma$, которая действует вдоль линии разреза, то есть по всей длине окружности сечения $l = 2\pi R$. Она удерживает полусферы вместе:

$F_\sigma = \sigma \cdot l = \sigma \cdot 2\pi R$

Из условия равновесия $F_p = F_\sigma$ следует:

$\Delta p \cdot \pi R^2 = \sigma \cdot 2\pi R$

Сократив обе части уравнения на $\pi R$, получим формулу для избыточного давления под сферической поверхностью:

$\Delta p = \frac{2\sigma}{R}$

Ответ: Доказано, что избыточное давление в жидкости под ее сферической поверхностью равно $2\sigma/R$.