Номер 10.47, страница 60 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.47, страница 60.

Условие.

10.47**. На четыре ртутных шарика радиусом $r_0 = 1 \text{ мм}$, лежащих на горизонтальном стекле, осторожно положили квадратную стеклянную пластинку массой $m = 80 \text{ г}$ (на рисунке показан вид сверху). Каким будет зазор $\text{d}$ между стеклом и пластинкой?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Количество ртутных шариков $N = 4$

Начальный радиус шариков $r_0 = 1$ мм

Масса стеклянной пластинки $m = 80$ г

Коэффициент поверхностного натяжения ртути $\sigma \approx 0.465$ Н/м

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Перевод в систему СИ:

$r_0 = 1 \cdot 10^{-3}$ м

$m = 80 \cdot 10^{-3}$ кг = $0.08$ кг

Найти:

Зазор между стеклом и пластинкой $\text{d}$.

Решение:

Когда на ртутные шарики кладут стеклянную пластинку, они деформируются под действием ее веса. Вес пластинки $F_g = mg$ равномерно распределяется между четырьмя шариками. Таким образом, на каждый шарик действует сила $F_1 = \frac{mg}{4}$.

Эта сила сжатия уравновешивается силой, возникающей из-за избыточного давления $\Delta P$ внутри капли. Это давление создается силами поверхностного натяжения. Сила, с которой капля действует на пластинку, равна $F_1 = \Delta P \cdot A$, где $A = \pi r^2$ – площадь контакта сплющенной капли со стеклом, а $\text{r}$ – радиус этой площади.

Избыточное давление в капле описывается формулой Лапласа: $\Delta P = \sigma (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})$, где $\sigma$ – коэффициент поверхностного натяжения ртути, а $R_1$ и $R_2$ – главные радиусы кривизны поверхности.

Можно предположить, что капля будет сильно сплющена, так что радиус контакта $\text{r}$ станет значительно больше зазора $\text{d}$ между стеклами ($r \gg d$). В этом случае боковая поверхность капли имеет большую кривизну в вертикальном сечении (определяемую зазором $\text{d}$) и малую в горизонтальном (определяемую радиусом $\text{r}$). Радиус кривизны в вертикальном сечении можно аппроксимировать как $R_1 \approx d/2$. Радиус кривизны в горизонтальном сечении будет приблизительно равен радиусу капли $R_2 \approx r$.

Поскольку $r \gg d$, то $1/R_1 \gg 1/R_2$, и вкладом второго слагаемого в формуле Лапласа можно пренебречь. Таким образом, избыточное давление можно считать равным $\Delta P \approx \sigma \frac{1}{R_1} \approx \frac{2\sigma}{d}$.

Сила, действующая на пластинку от одной капли, равна:

$F_1 = \frac{mg}{4} = \Delta P \cdot \pi r^2 \approx \frac{2\sigma}{d} \pi r^2$

Объем ртути в каждом шарике сохраняется. Начальный объем одного шарика: $V_0 = \frac{4}{3}\pi r_0^3$. Объем сплющенной капли можно аппроксимировать объемом цилиндра высотой $\text{d}$ и радиусом основания $\text{r}$ (пренебрегая объемом скругленных краев): $V \approx \pi r^2 d$.

Приравнивая объемы, получаем: $\pi r^2 d = \frac{4}{3}\pi r_0^3$, откуда $\pi r^2 = \frac{4\pi r_0^3}{3d}$.

Подставим полученное выражение для $\pi r^2$ в формулу для силы:

$\frac{mg}{4} = \frac{2\sigma}{d} \cdot \frac{4\pi r_0^3}{3d} = \frac{8\pi \sigma r_0^3}{3d^2}$

Из этого уравнения выразим искомую величину $\text{d}$:

$d^2 = \frac{4 \cdot 8\pi \sigma r_0^3}{3mg} = \frac{32\pi \sigma r_0^3}{3mg}$

$d = \sqrt{\frac{32\pi \sigma r_0^3}{3mg}}$

Подставим числовые значения:

$d = \sqrt{\frac{32 \cdot 3.14 \cdot 0.465 \text{ Н/м} \cdot (10^{-3} \text{ м})^3}{3 \cdot 0.08 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}} \approx \sqrt{\frac{46.72 \cdot 10^{-9}}{2.352}} \approx \sqrt{19.86 \cdot 10^{-9}} \approx 1.41 \cdot 10^{-4}$ м.

Ответ: Зазор между стеклом и пластинкой будет равен $d \approx 1.41 \cdot 10^{-4}$ м, или $0.141$ мм.