Номер 10.53, страница 61 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.53, страница 61.

Условие.

10.53**. Между двумя столбами натянута с небольшим усилием легкая проволока. К проволоке посередине подвешивают фонарь массой $\text{m}$. Площадь поперечного сечения проволоки равна $\text{S}$, модуль упругости материала $\text{E}$. Найдите угол провисания проволоки $\alpha$ (см. рисунок), считая его малым.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса фонаря: $\text{m}$

Площадь поперечного сечения проволоки: $\text{S}$

Модуль упругости материала проволоки: $\text{E}$

Найти:

Угол провисания проволоки: $\alpha$

Решение:

В состоянии равновесия сила тяжести фонаря $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, уравновешивается вертикальными составляющими сил натяжения $\text{T}$ в двух половинах проволоки. Так как фонарь подвешен посередине, силы натяжения в обеих частях проволоки одинаковы.

Запишем условие равновесия в проекции на вертикальную ось:

$2T \sin\alpha = mg$

Согласно условию, угол $\alpha$ мал. Для малых углов (выраженных в радианах) можно использовать приближение $\sin\alpha \approx \alpha$. Тогда условие равновесия принимает вид:

$2T\alpha = mg$

Из этого уравнения выразим силу натяжения проволоки $\text{T}$:

$T = \frac{mg}{2\alpha}$ (1)

С другой стороны, сила натяжения $\text{T}$ вызывает упругое растяжение проволоки. По закону Гука, механическое напряжение $\sigma = \frac{T}{S}$ связано с относительным удлинением $\varepsilon$ и модулем упругости $\text{E}$ соотношением $\sigma = E\varepsilon$. Отсюда силу натяжения можно выразить как:

$T = SE\varepsilon$ (2)

Найдем относительное удлинение $\varepsilon$. Пусть $l_0$ - начальная длина половины проволоки (равная половине расстояния между столбами). После подвешивания фонаря длина этой части проволоки становится $\text{l}$. Из геометрии, представленной на рисунке, следует, что $l_0 = l \cos\alpha$. Следовательно, $l = \frac{l_0}{\cos\alpha}$.

Относительное удлинение проволоки равно:

$\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_0} = \frac{l - l_0}{l_0} = \frac{\frac{l_0}{\cos\alpha} - l_0}{l_0} = \frac{1}{\cos\alpha} - 1$

Для малого угла $\alpha$ воспользуемся разложением косинуса в ряд Тейлора, ограничившись первыми двумя членами: $\cos\alpha \approx 1 - \frac{\alpha^2}{2}$.

Тогда относительное удлинение:

$\varepsilon \approx \frac{1}{1 - \frac{\alpha^2}{2}} - 1$

Применяя приближенную формулу $(1-x)^{-1} \approx 1+x$ для малых $\text{x}$ (где $x = \frac{\alpha^2}{2}$), получаем:

$\varepsilon \approx \left( 1 + \frac{\alpha^2}{2} \right) - 1 = \frac{\alpha^2}{2}$

Теперь подставим найденное выражение для $\varepsilon$ в формулу (2):

$T = SE \frac{\alpha^2}{2}$ (3)

Мы получили два выражения для силы натяжения $\text{T}$. Приравняем правые части уравнений (1) и (3):

$\frac{mg}{2\alpha} = \frac{SE\alpha^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2\alpha$:

$mg = SE\alpha^3$

Отсюда выразим $\alpha^3$:

$\alpha^3 = \frac{mg}{SE}$

Извлекая кубический корень, находим искомый угол провисания $\alpha$ (в радианах):

$\alpha = \sqrt[3]{\frac{mg}{SE}}$

Ответ: $\alpha = \sqrt[3]{\frac{mg}{SE}}$