Номер 10.52, страница 61 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 10. Пары, жидкости и твердые тела - номер 10.52, страница 61.

Условие.

10.52. Стальная проволока натянута горизонтально с небольшим усилием между двумя стенками при температуре $t_1 = 0 \text{ °C}$. При охлаждении до какой температуры $t_2$ она может лопнуть?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная температура: $t_1 = 0 \text{ °C}$

Материал проволоки: сталь

Для решения задачи необходимы справочные физические константы для стали:

Коэффициент линейного теплового расширения: $\alpha \approx 1.2 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}$

Модуль Юнга (модуль упругости): $E \approx 2 \cdot 10^{11} \text{ Па}$

Предел прочности на разрыв: $\sigma_{п} \approx 5 \cdot 10^{8} \text{ Па}$

Найти:

Температуру $t_2$, при которой проволока может лопнуть.

Решение:

При охлаждении стальная проволока будет стремиться сократиться в длине. Поскольку концы проволоки жестко закреплены, это сокращение невозможно, и в материале возникает механическое напряжение растяжения $\sigma$. Это напряжение вызвано тем, что стенки как бы растягивают проволоку, компенсируя ее тепловое сжатие.

Относительное изменение длины $\epsilon$, которое произошло бы при свободном охлаждении, вычисляется по формуле:

$\epsilon = \alpha \cdot \Delta t = \alpha \cdot (t_1 - t_2)$

где $\Delta t$ — это изменение температуры.

Согласно закону Гука, механическое напряжение $\sigma$ связано с относительным удлинением $\epsilon$ и модулем Юнга $\text{E}$:

$\sigma = E \cdot \epsilon$

Подставив в эту формулу выражение для $\epsilon$, получим формулу для термического напряжения:

$\sigma = E \cdot \alpha \cdot (t_1 - t_2)$

Проволока лопнет, когда это напряжение достигнет предела прочности стали $\sigma_{п}$. В условии указано, что начальное усилие натяжения невелико, поэтому мы можем им пренебречь по сравнению с огромным напряжением, которое возникнет при значительном охлаждении.

Таким образом, условие разрыва проволоки имеет вид:

$\sigma_{п} = E \cdot \alpha \cdot (t_1 - t_2)$

Из этой формулы выразим изменение температуры $\Delta t = t_1 - t_2$, необходимое для разрыва:

$\Delta t = \frac{\sigma_{п}}{E \cdot \alpha}$

Теперь подставим числовые значения:

$\Delta t = \frac{5 \cdot 10^{8} \text{ Па}}{2 \cdot 10^{11} \text{ Па} \cdot 1.2 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}} = \frac{5 \cdot 10^{8}}{2.4 \cdot 10^{6}} \text{ К} \approx 208.3 \text{ К}$

Так как цена деления шкалы Цельсия и Кельвина одинакова, изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению в Кельвинах: $\Delta t \approx 208.3 \text{ °C}$.

Зная начальную температуру $t_1$ и необходимое для разрыва изменение температуры $\Delta t$, найдем конечную температуру $t_2$:

$t_2 = t_1 - \Delta t$

$t_2 = 0 \text{ °C} - 208.3 \text{ °C} = -208.3 \text{ °C}$

Ответ: Проволока может лопнуть при охлаждении до температуры примерно $-208.3 \text{ °C}$.