Номер 11.1, страница 62 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 11. Законы термодинамики - номер 11.1, страница 62.

Условие.

11.1. Лед, взятый при температуре $t_1 = -10 \, \text{°C}$, пре-вратили в воду, температура которой $t_2 = +10 \, \text{°C}$. Сравните про-должительность различных этапов процесса и постройте графикзависимости температуры $\text{t}$ от времени $\tau$, считая, что веществоежесекундно получало одно и то же количество теплоты.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная температура льда, $t_1 = -10$ °C
Конечная температура воды, $t_2 = +10$ °C
Мощность нагревателя, $P = const$ (теплота подводится равномерно со временем).
Справочные данные:
Удельная теплоемкость льда, $c_л = 2100$ Дж/(кг·°C)
Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3,3 \cdot 10^5$ Дж/кг
Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200$ Дж/(кг·°C)
Температура плавления льда, $t_{пл} = 0$ °C

Перевод в систему СИ:
$t_1 = -10$ °C = 263,15 К
$t_2 = +10$ °C = 283,15 К
$t_{пл} = 0$ °C = 273,15 К
Изменение температуры $\Delta t$ в °C равно изменению температуры $\Delta T$ в К.$\Delta t_1 = 0 - (-10) = 10$ °C, следовательно $\Delta T_1 = 10$ К.
$\Delta t_2 = 10 - 0 = 10$ °C, следовательно $\Delta T_2 = 10$ К.

Найти:

1. Сравнить продолжительности различных этапов процесса ($\tau_1, \tau_2, \tau_3$).
2. Построить график зависимости температуры $\text{t}$ от времени $\tau$.

Решение:
Весь процесс превращения льда при $-10$ °C в воду при $+10$ °C можно разделить на три этапа:
1. Нагревание льда от $t_1 = -10$ °C до температуры плавления $t_{пл} = 0$ °C.
2. Плавление льда при постоянной температуре $t_{пл} = 0$ °C.
3. Нагревание полученной воды от $t_{пл} = 0$ °C до конечной температуры $t_2 = +10$ °C.

По условию, вещество ежесекундно получало одно и то же количество теплоты. Это означает, что мощность нагревателя $\text{P}$ постоянна. Количество теплоты $\text{Q}$, полученное веществом за время $\tau$, равно $Q = P \cdot \tau$. Следовательно, продолжительность каждого этапа прямо пропорциональна количеству теплоты, необходимому для этого этапа: $\tau \propto Q$.
Найдем количество теплоты для каждого этапа для массы вещества $\text{m}$:
Этап 1: Нагревание льда.
Количество теплоты $Q_1$, необходимое для нагревания льда массой $\text{m}$ от $t_1$ до $t_{пл}$:
$Q_1 = c_л \cdot m \cdot (t_{пл} - t_1) = 2100 \cdot m \cdot (0 - (-10)) = 21000 \cdot m$ Дж.
Продолжительность этого этапа: $\tau_1 = \frac{Q_1}{P}$.
Этап 2: Плавление льда.
Количество теплоты $Q_2$, необходимое для плавления льда массой $\text{m}$ при температуре $t_{пл}$:
$Q_2 = \lambda \cdot m = 3,3 \cdot 10^5 \cdot m = 330000 \cdot m$ Дж.
Продолжительность этого этапа: $\tau_2 = \frac{Q_2}{P}$.
Этап 3: Нагревание воды.
Количество теплоты $Q_3$, необходимое для нагревания воды массой $\text{m}$ от $t_{пл}$ до $t_2$:
$Q_3 = c_в \cdot m \cdot (t_2 - t_{пл}) = 4200 \cdot m \cdot (10 - 0) = 42000 \cdot m$ Дж.
Продолжительность этого этапа: $\tau_3 = \frac{Q_3}{P}$.

Сравнение продолжительности этапов:
Сравним продолжительности, найдя их отношение, которое равно отношению количеств теплоты:
$\tau_1 : \tau_2 : \tau_3 = Q_1 : Q_2 : Q_3 = (21000 \cdot m) : (330000 \cdot m) : (42000 \cdot m)$
Сократив на $1000 \cdot m$, получим:
$\tau_1 : \tau_2 : \tau_3 = 21 : 330 : 42$
Для удобства сравнения разделим все части отношения на 21:
$\tau_1 : \tau_2 : \tau_3 = 1 : \frac{330}{21} : \frac{42}{21} \approx 1 : 15,7 : 2$
Из этого отношения видно, что:
1. Нагревание воды от 0 до 10 °C ($\tau_3$) длится в 2 раза дольше, чем нагревание льда от -10 до 0 °C ($\tau_1$). Это связано с тем, что удельная теплоемкость воды примерно вдвое больше удельной теплоемкости льда ($c_в \approx 2c_л$).
2. Плавление льда ($\tau_2$) — самый длительный процесс. Он занимает примерно в 15,7 раз больше времени, чем нагревание льда на 10 °C, и примерно в $15,7 / 2 \approx 7,85$ раз больше времени, чем нагревание воды на 10 °C.
Таким образом, продолжительности этапов соотносятся как $\tau_1 < \tau_3 < \tau_2$.

Построение графика зависимости температуры от времени $t(\tau)$:
График будет состоять из трех участков, соответствующих трем этапам процесса.
1. Участок 1 (нагревание льда): Температура линейно растет со временем от -10 °C до 0 °C. Так как $Q_1 = P\tau$ и $Q_1 = c_л m \Delta t$, то $\Delta t = \frac{P}{c_л m}\tau$. Это прямая линия с положительным наклоном.
2. Участок 2 (плавление льда): Вся подводимая теплота идет на разрушение кристаллической решетки, поэтому температура остается постоянной и равной 0 °C. Это горизонтальный участок графика. Его длина на оси времени $\tau_2$ значительно больше длин других участков.
3. Участок 3 (нагревание воды): Температура снова линейно растет со временем от 0 °C до 10 °C. Наклон этой прямой будет меньше, чем на первом участке, так как теплоемкость воды больше теплоемкости льда ($c_в > c_л$). Температура воды растет медленнее при той же мощности нагрева. Угловой коэффициент этого участка примерно в 2 раза меньше, чем у первого.
Схематический график процесса представлен ниже, с соблюдением найденных пропорций времени.

Ответ: Процесс состоит из трех этапов: нагревание льда, плавление льда и нагревание воды. Отношение продолжительностей этих этапов примерно равно $\tau_{нагр.льда} : \tau_{плавления} : \tau_{нагр.воды} \approx 1 : 15,7 : 2$. Самым коротким этапом является нагревание льда, а самым длительным — его плавление. График зависимости температуры от времени состоит из трех участков: двух наклонных прямых (нагревание льда и воды) и одного горизонтального участка между ними (плавление). Наклон прямой для нагревания воды примерно в два раза меньше, чем для нагревания льда.