Номер 473, страница 73 - гдз по физике 8 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Электрические явления. Электрическое сопротивление проводников - номер 473, страница 73.

Условие.

473. Какой проводник имеет большее сопротивление в цепи постоянного тока — сплошной медный стержень или медная трубка, внешний диаметр которой равен диаметру стержня? Длину обоих проводников считать одинаковой.

Решение.

Дано:

Проводник 1: сплошной медный стержень
Проводник 2: медная трубка
Удельное сопротивление: $\rho_1 = \rho_2 = \rho$ (оба проводника медные)
Длина: $l_1 = l_2 = l$
Диаметр стержня: $D_{стержня} = D$
Внешний диаметр трубки: $D_{внеш} = D$
Внутренний диаметр трубки: $d_{внутр} > 0$

Найти:

Какой из проводников имеет большее сопротивление?

Решение:

Электрическое сопротивление проводника $\text{R}$ можно рассчитать по формуле: $R = \rho \frac{l}{S}$ где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $\text{l}$ — длина проводника, $\text{S}$ — площадь поперечного сечения проводника.

Согласно условию задачи, оба проводника изготовлены из одного и того же материала (меди), поэтому их удельные сопротивления $\rho$ одинаковы. Также их длины $\text{l}$ равны. Это означает, что сопротивление в данном случае зависит только от площади поперечного сечения $\text{S}$ и обратно пропорционально ей ($R \propto \frac{1}{S}$). Проводник с меньшей площадью поперечного сечения будет иметь большее сопротивление.

Сравним площади поперечного сечения стержня ($S_{стержня}$) и трубки ($S_{трубки}$).

1. Поперечное сечение сплошного стержня представляет собой круг с диаметром $\text{D}$. Его площадь равна: $S_{стержня} = \frac{\pi D^2}{4}$

2. Поперечное сечение медной трубки представляет собой кольцо. Его площадь равна разности площадей кругов, образованных внешним диаметром $\text{D}$ и внутренним диаметром $d_{внутр}$: $S_{трубки} = S_{внеш} - S_{внутр} = \frac{\pi D^2}{4} - \frac{\pi d_{внутр}^2}{4}$

Поскольку трубка является полой, ее внутренний диаметр $d_{внутр}$ — это положительная величина ($d_{внутр} > 0$). Следовательно, площадь ее поперечного сечения всегда будет меньше площади поперечного сечения сплошного стержня с таким же (внешним) диаметром: $S_{трубки} < S_{стержня}$

Так как сопротивление обратно пропорционально площади поперечного сечения, то проводник с меньшей площадью (трубка) будет иметь большее сопротивление. $R_{трубки} > R_{стержня}$

Ответ:

Большее сопротивление имеет медная трубка, так как при одинаковых длине и внешнем диаметре ее площадь поперечного сечения, по которой может протекать ток, меньше, чем у сплошного медного стержня.