Номер 3, страница 5 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Повторение курса геометрии 7 класса - номер 3, страница 5.

Условие.

3. Изобразите четыре прямые так, чтобы у них было:

а) три точки;

б) четыре точки;

в) пять точек;

г) шесть точек попарных пересечений.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) три точки

Чтобы получить три точки пересечения, можно расположить прямые следующим образом. Взять три прямые и сделать их параллельными друг другу. Четвертую прямую провести так, чтобы она пересекала все три параллельные прямые. Поскольку параллельные прямые между собой не пересекаются, точками пересечения будут только точки, в которых четвертая прямая пересекает каждую из трех параллельных прямых. Таким образом, мы получим ровно три точки пересечения.

Другой возможный вариант: три прямые пересекаются в одной точке, а четвертая прямая параллельна одной из этих трех прямых. В этом случае у нас будет одна точка, где пересекаются первые три прямые, и две другие точки, где четвертая прямая пересекает две оставшиеся (непараллельные ей) прямые. Всего $1 + 2 = 3$ точки.

Ответ: Необходимо нарисовать три параллельные прямые и одну прямую, пересекающую их все.

б) четыре точки

Для получения четырех точек пересечения существует несколько способов.

Первый способ основан на пересечении прямых в одной точке. Возьмем три прямые и проведем их через одну общую точку. Четвертую прямую нужно провести так, чтобы она пересекала все три первые прямые, но не проходила через их общую точку пересечения. В результате мы получим одну точку, где пересекаются три прямые, и три новые точки на четвертой прямой. Итого $1 + 3 = 4$ точки.

Второй способ использует параллельные прямые. Нужно нарисовать две пары параллельных прямых. То есть, первая прямая параллельна второй, а третья прямая параллельна четвертой, но при этом первая пара прямых не параллельна второй паре. Такая конфигурация образует на плоскости параллелограмм, четыре вершины которого и будут являться искомыми точками пересечения.

Ответ: Можно изобразить три прямые, пересекающиеся в одной точке, и четвертую прямую, пересекающую эти три прямые в трех различных точках. Либо можно изобразить две пары параллельных прямых (параллелограмм).

в) пять точек

Чтобы получить пять точек пересечения, нужно уменьшить максимальное возможное число пересечений (шесть) на единицу. Это достигается, если ввести одно условие параллельности, не создавая при этом тройных пересечений.

Для этого возьмем две прямые и сделаем их параллельными. Две другие прямые проведем так, чтобы они пересекали обе параллельные прямые и, кроме того, пересекались между собой. Важно, чтобы точка пересечения этих двух прямых не лежала ни на одной из параллельных прямых.

В такой конфигурации первая непараллельная прямая дает две точки пересечения с парой параллельных прямых. Вторая непараллельная прямая также дает две точки пересечения. Две непараллельные прямые пересекаются между собой, давая еще одну, пятую, точку. Итого: $2 + 2 + 1 = 5$ точек.

Ответ: Нужно нарисовать две параллельные прямые, которые пересекаются двумя другими прямыми, также пересекающимися между собой в точке, не лежащей на параллельных прямых.

г) шесть точек попарных пересечений

Шесть точек пересечения — это максимальное возможное число для четырех прямых. Оно получается, когда прямые находятся в так называемом "общем положении". Это означает, что должны выполняться два условия: никакие две прямые не параллельны и никакие три прямые не пересекаются в одной точке.

Максимальное число точек пересечения для $n$ прямых в общем положении вычисляется по формуле числа сочетаний из $n$ по 2: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$. Для четырех прямых ($n=4$) это будет $C_4^2 = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{12}{2} = 6$ точек.

Чтобы это изобразить, достаточно нарисовать четыре прямые так, чтобы каждая пересекала каждую, и все точки пересечения были уникальны. Например, можно нарисовать треугольник, образованный тремя прямыми, а четвертую прямую провести так, чтобы она пересекла все три стороны этого треугольника.

Ответ: Необходимо нарисовать четыре прямые так, чтобы никакие две из них не были параллельны и никакие три не пересекались в одной точке.