Номер 5, страница 5 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. На прямой отмечены:

а) три точки;

б) четыре точки;

в) пять точек;

г) $n$ точек.

Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?

а) Для нахождения количества отрезков, концами которых являются данные точки, необходимо определить, сколькими способами можно выбрать пару точек из имеющегося множества. Если на прямой отмечены 3 точки, то для образования отрезка нужно выбрать 2 из них. Обозначим точки как А, В и С. Возможные отрезки: АВ, АС, ВС. Таким образом, можно образовать 3 отрезка. Это соответствует числу сочетаний из 3 элементов по 2, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае $n=3$, $k=2$:
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$.
Ответ: 3

б) Если на прямой отмечены 4 точки, то количество отрезков будет равно числу сочетаний из 4 по 2. Используем ту же формулу при $n=4$ и $k=2$.
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.
Можно также перечислить их, обозначив точки как А, В, С, D: АВ, АС, AD, ВС, BD, CD. Всего 6 отрезков.
Ответ: 6

в) Для пяти точек на прямой количество отрезков вычисляется аналогично, как число сочетаний из 5 по 2. Подставляем $n=5$ и $k=2$ в формулу:
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
Ответ: 10

г) В общем случае, если на прямой отмечено $n$ точек, то каждый отрезок однозначно определяется парой этих точек. Порядок точек в паре не имеет значения (отрезок АВ — это тот же отрезок, что и ВА). Таким образом, задача сводится к нахождению числа сочетаний из $n$ элементов по 2. Формула для числа сочетаний из $n$ по 2 выглядит следующим образом:
$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.
Эта формула позволяет вычислить количество отрезков для любого числа точек $n$. Чтобы выбрать первую точку отрезка, у нас есть $n$ вариантов. Чтобы выбрать вторую — $(n-1)$ вариант. Поскольку порядок не важен, мы делим произведение $n(n-1)$ на 2.
Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$