Номер 12, страница 5 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Изобразите три попарно пересекающиеся прямые, не пересекающиеся в одной точке. На сколько частей они разбивают плоскость?

Для решения задачи необходимо сначала представить, как расположены три прямые, удовлетворяющие заданным условиям, а затем подсчитать количество частей, на которые они делят плоскость.

Описание расположения прямых

Условие "попарно пересекающиеся прямые" означает, что никакие две из трех прямых не параллельны друг другу. Каждая прямая пересекает две другие. Условие "не пересекающиеся в одной точке" означает, что три точки пересечения (по одной для каждой пары прямых) не совпадают. Такое расположение прямых на плоскости образует треугольник, ограниченный отрезками этих прямых.

Подсчет количества частей плоскости

Подсчитать количество частей, на которые прямые разбивают плоскость, можно несколькими способами.

Способ 1: Пошаговое добавление прямых
1. Проведем первую прямую. Она делит плоскость на 2 части.
2. Проведем вторую прямую так, чтобы она пересекала первую. Вторая прямая проходит через 2 уже существующие части и делит каждую из них надвое. Таким образом, добавляется 2 новые части. Общее количество частей становится $2 + 2 = 4$.
3. Проведем третью прямую. Согласно условию, она должна пересечь первые две прямые в двух разных точках. Проходя по плоскости, она пересекает 3 из 4 существующих областей. Каждую из этих трех областей она делит на две, следовательно, добавляет 3 новые части. Итоговое количество частей: $4 + 3 = 7$.

Способ 2: Использование общей формулы
Существует общая формула для нахождения максимального числа областей $L_n$, на которые $n$ прямых могут разделить плоскость. Этот случай как раз соответствует "общему положению" прямых: никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Формула выглядит так:
$L_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1$
Для нашего случая, где количество прямых $n=3$:
$L_3 = \frac{3(3+1)}{2} + 1 = \frac{3 \cdot 4}{2} + 1 = \frac{12}{2} + 1 = 6 + 1 = 7$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату. Три прямые, расположенные указанным образом, делят плоскость на 7 частей: одна ограниченная область (внутренний треугольник) и шесть неограниченных областей.

Ответ: 7.