Номер 8, страница 5 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Могут ли точки $A$, $B$, $C$ принадлежать одной прямой, если $AB = 2 \text{ см}$, $BC = 3 \text{ см}$, $AC = 4 \text{ см}$?

Для того чтобы три точки $A$, $B$ и $C$ принадлежали одной прямой, необходимо, чтобы одна из точек лежала между двумя другими. Если одна точка лежит между двумя другими, то расстояние между крайними точками равно сумме расстояний от них до средней точки. Иначе говоря, длина наибольшего отрезка должна быть равна сумме длин двух других.

В нашем случае даны длины отрезков: $AB = 2$ см, $BC = 3$ см, $AC = 4$ см.

Проверим все возможные варианты расположения точек на одной прямой:

1. Точка B лежит между A и C. В этом случае должно выполняться равенство $AB + BC = AC$.
Подставляем значения: $2 \text{ см} + 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
Сравниваем полученную сумму с длиной отрезка $AC$: $5 \text{ см} \neq 4 \text{ см}$.
Это условие не выполняется.

2. Точка A лежит между B и C. В этом случае должно выполняться равенство $BA + AC = BC$.
Подставляем значения: $2 \text{ см} + 4 \text{ см} = 6 \text{ см}$.
Сравниваем полученную сумму с длиной отрезка $BC$: $6 \text{ см} \neq 3 \text{ см}$.
Это условие также не выполняется.

3. Точка C лежит между A и B. В этом случае должно выполняться равенство $AC + CB = AB$.
Подставляем значения: $4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$.
Сравниваем полученную сумму с длиной отрезка $AB$: $7 \text{ см} \neq 2 \text{ см}$.
Это условие тоже не выполняется.

Поскольку ни одно из условий, необходимых для принадлежности трех точек одной прямой, не выполнено, точки $A$, $B$ и $C$ не могут лежать на одной прямой. Эти точки образуют вершины треугольника, так как для данных длин отрезков выполняется неравенство треугольника (сумма длин любых двух сторон больше третьей: $2+3>4$, $2+4>3$, $3+4>2$).

Ответ: Нет, не могут.