Номер 3, страница 89 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 19.7, все углы которых прямые.

а)

б)

Рис. 19.7

а)

Площадь данной фигуры можно найти двумя способами: разбив её на более простые прямоугольники и сложив их площади, либо найдя площадь большого прямоугольника, в который вписана фигура, и вычтя из неё площадь "вырезанной" части.

Воспользуемся вторым способом (методом вычитания).

1. Сначала представим фигуру как большой сплошной прямоугольник. Согласно рисунку, его ширина равна 3, а высота — 2.

2. Вычислим площадь этого большого прямоугольника:

$S_{внешний} = ширина \times высота = 3 \times 2 = 6$

3. Теперь найдём размеры и площадь вырезанной части. Это прямоугольник в верхней центральной части фигуры. Его высота указана и равна 1. Его ширину можно вычислить, отняв от общей ширины (3) длины двух верхних боковых отрезков (каждый по 1):

$ширина_{выреза} = 3 - 1 - 1 = 1$

4. Площадь вырезанного прямоугольника:

$S_{вырез} = 1 \times 1 = 1$

5. Чтобы найти площадь исходной фигуры, вычтем площадь вырезанной части из площади внешнего прямоугольника:

$S_{фигуры} = S_{внешний} - S_{вырез} = 6 - 1 = 5$

Ответ: 5

б)

Для нахождения площади этой фигуры также удобно использовать метод вычитания. Сначала найдём площадь внешнего прямоугольника (габаритного контейнера), в который можно вписать фигуру, а затем вычтем площади "пустых" областей.

1. Определим общую (габаритную) ширину и высоту фигуры. Так как все углы прямые, общая ширина равна сумме длин всех горизонтальных отрезков, направленных вправо (или влево), а общая высота — сумме длин всех вертикальных отрезков, направленных вверх (или вниз).

Общая ширина = $1 (сверху) + 2 (посередине) = 3$

Общая высота = $2 (слева) + 1 (снизу) = 3$

2. Фигура вписывается в квадрат со стороной 3. Его площадь:

$S_{внешний} = 3 \times 3 = 9$

3. Фигура не занимает весь квадрат; в нём есть две пустые прямоугольные области. Найдём их площади.

- Первая пустая область находится в верхнем правом углу габаритного квадрата. Её стороны образованы внутренними границами фигуры. Это горизонтальный отрезок длиной 2 и вертикальный отрезок длиной 1. Таким образом, площадь первой пустой области:

$S_{пуст1} = 2 \times 1 = 2$

- Вторая пустая область находится в нижнем левом углу. Её стороны также являются внутренними границами фигуры: это горизонтальный отрезок длиной 2 и вертикальный отрезок длиной 1. Площадь второй пустой области:

$S_{пуст2} = 2 \times 1 = 2$

4. Искомая площадь фигуры равна площади габаритного квадрата за вычетом площадей двух пустых областей:

$S_{фигуры} = S_{внешний} - S_{пуст1} - S_{пуст2} = 9 - 2 - 2 = 5$

Ответ: 5