Номер 5.19, страница 29 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

V. Геометрическая оптика - номер 5.19, страница 29.

Условие.

5.19 Луч света падает на поверхность стекла под углом $36^\circ$. Под каким углом луч должен упасть на поверхность алмаза, чтобы угол преломления оказался таким же? Показатель преломления стекла 1,5, алмаза 2,4.

Решение.

Дано:

Угол падения луча на стекло, $ \alpha_1 = 36^\circ $

Показатель преломления стекла, $ n_1 = 1,5 $

Показатель преломления алмаза, $ n_2 = 2,4 $

Показатель преломления воздуха, $ n_{возд} \approx 1 $

Угол преломления в стекле равен углу преломления в алмазе, $ \beta_1 = \beta_2 = \beta $

Найти:

Угол падения луча на алмаз, $ \alpha_2 $

Решение:

Для решения этой задачи используется закон преломления света, также известный как закон Снеллиуса. Он связывает углы падения и преломления с показателями преломления двух сред:

$ n_a \sin(\alpha) = n_b \sin(\beta) $

где $ n_a $ — показатель преломления среды, из которой падает луч, $ \alpha $ — угол падения, $ n_b $ — показатель преломления среды, в которую луч преломляется, $ \beta $ — угол преломления. В данном случае луч света падает из воздуха ($ n_{возд} \approx 1 $).

Сначала запишем закон Снеллиуса для случая падения луча на поверхность стекла:

$ n_{возд} \sin(\alpha_1) = n_1 \sin(\beta_1) $

Из этого уравнения можно выразить синус угла преломления:

$ \sin(\beta_1) = \frac{n_{возд} \sin(\alpha_1)}{n_1} $

Теперь запишем закон Снеллиуса для случая падения луча на поверхность алмаза:

$ n_{возд} \sin(\alpha_2) = n_2 \sin(\beta_2) $

Выразим синус угла преломления для этого случая:

$ \sin(\beta_2) = \frac{n_{возд} \sin(\alpha_2)}{n_2} $

По условию задачи, углы преломления в обоих случаях должны быть одинаковы, то есть $ \beta_1 = \beta_2 $. Это означает, что синусы этих углов также равны: $ \sin(\beta_1) = \sin(\beta_2) $.

Приравняем правые части выражений для синусов:

$ \frac{n_{возд} \sin(\alpha_1)}{n_1} = \frac{n_{возд} \sin(\alpha_2)}{n_2} $

Поскольку показатель преломления воздуха $ n_{возд} $ присутствует в обеих частях уравнения, его можно сократить:

$ \frac{\sin(\alpha_1)}{n_1} = \frac{\sin(\alpha_2)}{n_2} $

Теперь выразим из этого соотношения искомый синус угла падения на алмаз $ \sin(\alpha_2) $:

$ \sin(\alpha_2) = \frac{n_2 \cdot \sin(\alpha_1)}{n_1} $

Подставим известные числовые значения в формулу:

$ \sin(\alpha_2) = \frac{2,4 \cdot \sin(36^\circ)}{1,5} $

Вычислим значение. $ \sin(36^\circ) \approx 0,5878 $.

$ \sin(\alpha_2) \approx \frac{2,4 \cdot 0,5878}{1,5} \approx \frac{1,4107}{1,5} \approx 0,9405 $

Чтобы найти сам угол $ \alpha_2 $, необходимо взять арксинус от полученного значения:

$ \alpha_2 = \arcsin(0,9405) \approx 70,1^\circ $

Ответ: луч должен упасть на поверхность алмаза под углом примерно $ 70,1^\circ $.