Изучение колебаний маятника, страница 249, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 61. Лабораторные и исследовательские работы. Практические работы-исследование - страница 249.

Условие.

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА, СОСТОЯЩЕГО ИЗ ДВУХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО СОЕДИНЁННЫХ ПРУЖИН

В § 23 мы рассмотрели последовательное и параллельное соединение пружин, и вы уже знаете, как определить эффективную жёсткость системы, состоящей из нескольких пружин. Рассмотрим, как определить период колебаний пружинного маятника, состоящего из двух последовательно соединённых пружин.

Цель работы

Определить период колебаний пружинного маятника, состоящего из двух последовательно соединённых пружин.

ПОМОЩНИК

• В качестве оборудования можно использовать штатив с муфтой и лапкой, две пружины, жёсткости которых известны, набор грузов из механики, линейку, секундомер.

• Закрепите первую пружину в штативе и прикрепите к ней последовательно вторую пружину. К системе пружин подвесьте груз массой 50 г.

• Отклоните груз пружинного маятника вниз от положения равновесия на 2–3 см и отпустите.

• Измерьте время $\text{t}$, за которое маятник совершает $N = 20$ полных колебаний.

• Вычислите период колебаний пружинного маятника: $T_\text{эксп} = \frac{t}{N}$.

• Вычислите теоретическое значение периода колебаний пружинного маятника по формуле (2), используя эффективное значение жёсткости системы пружин: $\frac{1}{k_\text{эф}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$.

• Результаты измерений и вычислений запишите в таблицу в своей тетради.

№ опыта	$\text{k}$, Н/м	$\text{m}$, кг	$\text{t}$, с	$\text{N}$	$T_\text{эксп}$, с	$T_\text{теор}$, с

• Повторите опыт, используя другие пружины.

• Сделайте вывод.

Решение.

Это отчёт о выполнении лабораторной работы "Изучение колебаний маятника, состоящего из двух последовательно соединённых пружин".

Цель работы: определить период колебаний пружинного маятника, состоящего из двух последовательно соединённых пружин, экспериментально и теоретически, и сравнить полученные значения.

Дано:

Опыт №1:

Жёсткость первой пружины: $k_1 = 20$ Н/м

Жёсткость второй пружины: $k_2 = 30$ Н/м

Масса груза: $m = 50$ г

Число полных колебаний: $N = 20$

Время колебаний (измеренное): $t_1 = 8.3$ c

Опыт №2:

Жёсткость первой пружины: $k_1 = 40$ Н/м

Жёсткость второй пружины: $k_2 = 40$ Н/м

Масса груза: $m = 50$ г

Число полных колебаний: $N = 20$

Время колебаний (измеренное): $t_2 = 6.4$ c

Перевод в систему СИ:

Масса груза: $m = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$

Найти:

Для каждого опыта:

1. Экспериментальное значение периода колебаний $T_{эксп}$.

2. Теоретическое значение периода колебаний $T_{теор}$.

3. Сравнить полученные значения и сделать вывод.

Решение:

Согласно инструкции, для определения периода колебаний необходимо выполнить следующие шаги.

1. Расчёт теоретического периода колебаний ($T_{теор}$).

Теоретический период колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T_{теор} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{эф}}}$

где $\text{m}$ - масса груза, а $k_{эф}$ - эффективная жёсткость системы пружин.

При последовательном соединении пружин эффективная жёсткость рассчитывается по формуле:

$\frac{1}{k_{эф}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$

или

$k_{эф} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$

Для опыта №1:

Найдём эффективную жёсткость:

$k_{эф1} = \frac{20 \cdot 30}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12$ Н/м

Теперь рассчитаем теоретический период:

$T_{теор1} = 2\pi\sqrt{\frac{0.05}{12}} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{0.004167} \approx 6.28 \cdot 0.0645 \approx 0.406$ с

Для опыта №2:

Найдём эффективную жёсткость:

$k_{эф2} = \frac{40 \cdot 40}{40 + 40} = \frac{1600}{80} = 20$ Н/м

Рассчитаем теоретический период:

$T_{теор2} = 2\pi\sqrt{\frac{0.05}{20}} = 2\pi\sqrt{0.0025} = 2 \cdot 3.14 \cdot 0.05 = 0.314$ с

2. Расчёт экспериментального периода колебаний ($T_{эксп}$).

Экспериментальный период находится как отношение общего времени колебаний $\text{t}$ к числу колебаний $\text{N}$:

$T_{эксп} = \frac{t}{N}$

Для опыта №1:

По результатам измерений $t_1 = 8.3$ с для $N = 20$ колебаний.

$T_{эксп1} = \frac{8.3}{20} = 0.415$ с

Для опыта №2:

По результатам измерений $t_2 = 6.4$ с для $N = 20$ колебаний.

$T_{эксп2} = \frac{6.4}{20} = 0.320$ с

3. Результаты измерений и вычислений.

Занесём все данные в таблицу:

№ опыта	kэф, Н/м	m, кг	t, с	N	Tэксп, с	Tтеор, с
1	12	0.05	8.3	20	0.415	0.406
2	20	0.05	6.4	20	0.320	0.314

Вывод:

В ходе лабораторной работы мы определили периоды колебаний пружинного маятника с двумя последовательно соединёнными пружинами. Сравнение экспериментально полученных значений периода с теоретическими показывает их хорошее совпадение.

В первом опыте $T_{эксп1} = 0.415$ с и $T_{теор1} = 0.406$ с. Относительная погрешность составляет $\epsilon_1 = \frac{|0.415 - 0.406|}{0.406} \cdot 100\% \approx 2.2\%$.

Во втором опыте $T_{эксп2} = 0.320$ с и $T_{теор2} = 0.314$ с. Относительная погрешность составляет $\epsilon_2 = \frac{|0.320 - 0.314|}{0.314} \cdot 100\% \approx 1.9\%$.

Небольшая погрешность измерений (менее 5%) подтверждает справедливость формулы для периода колебаний пружинного маятника ($T = 2\pi\sqrt{m/k}$) и формулы для расчёта эффективной жёсткости при последовательном соединении пружин ($\frac{1}{k_{эф}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$). Расхождения могут быть вызваны погрешностями при измерении времени, неточностью заданных значений жёсткости пружин и массы груза, а также влиянием сопротивления воздуха.

Ответ: Экспериментально и теоретически определённые значения периода колебаний для двух наборов последовательно соединённых пружин близки друг к другу, что подтверждает теоретические формулы. Для первого опыта $T_{эксп1} = 0.415$ с и $T_{теор1} = 0.406$ с. Для второго опыта $T_{эксп2} = 0.320$ с и $T_{теор2} = 0.314$ с.