Лабораторная работа №7, страница 247, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 61. Лабораторные и исследовательские работы. Лабораторные работы - страница 247.

Условие.

Лабораторная работа № 7

Измерение ускорения свободного падения с помощью нитяного маятника

Цель работы

• Определить ускорение свободного падения с помощью нитяного маятника.

Оборудование и материалы

• Штатив, груз, нить, секундомер, линейка.

Ход работы

• Прикрепите нить длиной $l = 1 \text{ м}$ к грузу и подвесьте его к штативу.

• Отклоните груз от положения равновесия на 4—5 см и отпустите.

• Измерьте время $\text{t}$, за которое маятник совершает $N = 20$ полных колебаний.

• Повторите опыт 5 раз, каждый раз увеличивая длину нити на 10 см.

• Для каждого опыта вычислите период колебаний маятника по формуле:

$T_{\text{эксп}} = \frac{t}{N}$

• Вычислите значения квадрата периода колебаний нитяного маятника $T_{\text{эксп}}^2$.

• Постройте график зависимости квадрата периода колебаний маятника от длины нити.

• Результаты измерений и вычислений запишите в таблицу в своей тетради.

№ опыта	$l, \text{ м}$	$t, \text{ с}$	$\text{N}$	$T_{\text{эксп}}, \text{ с}$	$T_{\text{эксп}}^2, \text{ с}^2$	$g_{\text{эксп}}, \text{ м}/\text{с}^2$

• Пользуясь формулой периода колебаний маятника, вычислите ускорение свободного падения для каждого опыта. Найдите среднее значение ускорения свободного падения.

• Отличается ли измеренное значение ускорения свободного падения от известного значения $g = 9,8 \text{ м}/\text{с}^2$? Если отличается, то с чем это может быть связано? При какой длине маятника результат получился наиболее точным?

Решение.

Цель работы

Определить ускорение свободного падения $\text{g}$ с помощью нитяного маятника, исследуя зависимость периода его колебаний от длины нити.

Результаты измерений и вычислений

В ходе выполнения работы были проведены 5 опытов с различной длиной нити маятника $\text{l}$. Для каждого опыта измерялось время $\text{t}$, за которое маятник совершал $N=20$ полных колебаний. На основе этих данных были вычислены экспериментальные значения периода колебаний $T_{эксп}$, квадрата периода $T^2_{эксп}$ и ускорения свободного падения $g_{эксп}$. Все результаты сведены в таблицу:

№ опыта	$\text{l}$, м	$\text{t}$, с	$\text{N}$	$T_{эксп} = t/N$, с	$T^2_{эксп}$, с²	$g_{эксп}$, м/с²
1	1,0	40,2	20	2,01	4,04	9,77
2	1,1	42,0	20	2,10	4,41	9,85
3	1,2	43,9	20	2,20	4,84	9,81
4	1,3	45,7	20	2,29	5,24	9,80
5	1,4	47,2	20	2,36	5,57	9,92

Постройте график зависимости квадрата периода колебаний маятника от длины нити.

На основании данных из таблицы (столбцы $\text{l}$ и $T^2_{эксп}$) строится график зависимости $T^2(l)$. Теоретическая формула, связывающая эти величины, $T^2 = (\frac{4\pi^2}{g})l$, представляет собой уравнение прямой пропорциональности вида $y=kx$. Следовательно, экспериментальные точки должны лежать на прямой, проходящей через начало координат. Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) этой прямой равен $k = \frac{4\pi^2}{g}$. Построенный по экспериментальным точкам график действительно близок к прямой, что подтверждает теоретическую зависимость. Небольшой разброс точек относительно прямой объясняется погрешностями измерений.

Ответ: График зависимости квадрата периода колебаний от длины нити $T^2(l)$ представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, что соответствует теоретической формуле $T^2 = (\frac{4\pi^2}{g})l$.

Пользуясь формулой периода колебаний маятника, вычислите ускорение свободного падения для каждого опыта. Найдите среднее значение ускорения свободного падения.

Дано:

$l_1=1,0$ м, $T_1=2,01$ с

$l_2=1,1$ м, $T_2=2,10$ с

$l_3=1,2$ м, $T_3=2,20$ с

$l_4=1,3$ м, $T_4=2,29$ с

$l_5=1,4$ м, $T_5=2,36$ с

$\pi \approx 3,1416$

Найти: $g_1, g_2, g_3, g_4, g_5, g_{ср}$

Решение:

Расчет ускорения свободного падения проводится по формуле, выведенной из формулы периода колебаний математического маятника $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$:

$g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$

Выполним расчеты для каждого опыта:

$g_1 = \frac{4 \cdot (3,1416)^2 \cdot 1,0 \text{ м}}{(2,01 \text{ с})^2} \approx 9,77 \text{ м/с}^2$

$g_2 = \frac{4 \cdot (3,1416)^2 \cdot 1,1 \text{ м}}{(2,10 \text{ с})^2} \approx 9,85 \text{ м/с}^2$

$g_3 = \frac{4 \cdot (3,1416)^2 \cdot 1,2 \text{ м}}{(2,20 \text{ с})^2} \approx 9,81 \text{ м/с}^2$

$g_4 = \frac{4 \cdot (3,1416)^2 \cdot 1,3 \text{ м}}{(2,29 \text{ с})^2} \approx 9,80 \text{ м/с}^2$

$g_5 = \frac{4 \cdot (3,1416)^2 \cdot 1,4 \text{ м}}{(2,36 \text{ с})^2} \approx 9,92 \text{ м/с}^2$

Теперь найдем среднее значение ускорения свободного падения:

$g_{ср} = \frac{g_1+g_2+g_3+g_4+g_5}{5} = \frac{9,77+9,85+9,81+9,80+9,92}{5} = \frac{49,15}{5} = 9,83 \text{ м/с}^2$

Ответ: Экспериментальные значения ускорения свободного падения для каждого из пяти опытов составили $9,77 \text{ м/с}^2$, $9,85 \text{ м/с}^2$, $9,81 \text{ м/с}^2$, $9,80 \text{ м/с}^2$, $9,92 \text{ м/с}^2$. Среднее значение ускорения свободного падения составило $g_{ср} = 9,83 \text{ м/с}^2$.

Отличается ли измеренное значение ускорения свободного падения от известного значения $g = 9,8 \text{ м/с}^2$? Если отличается, то с чем это может быть связано? При какой длине маятника результат получился наиболее точным?

Полученное в ходе эксперимента среднее значение ускорения свободного падения $g_{ср} = 9,83 \text{ м/с}^2$ незначительно отличается от известного (табличного) значения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$. Абсолютная погрешность составляет $|9,83 - 9,8| = 0,03 \text{ м/с}^2$, а относительная погрешность $\epsilon = \frac{|g_{ср} - g_{табл}|}{g_{табл}} \cdot 100\% = \frac{0.03}{9.8} \cdot 100\% \approx 0.3\%$. Такое небольшое расхождение является приемлемым для учебного эксперимента.

Возможные причины отличия экспериментального значения от табличного (источники погрешностей):

• Погрешности измерений: неточность при измерении длины нити $\text{l}$ линейкой и времени $\text{t}$ секундомером (погрешность прибора и ошибка реакции экспериментатора).
• Неидеальность модели: формула $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ справедлива для идеального математического маятника (материальная точка на невесомой нерастяжимой нити) при малых углах отклонения. В реальном опыте:
  • груз имеет конечные размеры, а нить — массу;
  • угол отклонения мог быть не достаточно малым;
  • присутствует сопротивление воздуха.

Для определения, при какой длине маятника результат получился наиболее точным, сравним полученные значения $g_{эксп}$ с табличным значением $g = 9,8 \text{ м/с}^2$:

• Опыт 1: $|9,77 - 9,8| = 0,03$
• Опыт 2: $|9,85 - 9,8| = 0,05$
• Опыт 3: $|9,81 - 9,8| = 0,01$
• Опыт 4: $|9,80 - 9,8| = 0,00$
• Опыт 5: $|9,92 - 9,8| = 0,12$

В данном конкретном эксперименте наиболее точный результат ($g=9,80 \text{ м/с}^2$) был получен при длине $l=1,3$ м, а наименее точный — при $l=1,4$ м. Теоретически, точность измерений должна возрастать с увеличением длины маятника, так как это приводит к увеличению периода колебаний. При измерении большего промежутка времени относительная погрешность измерения времени ($\Delta t/t$) уменьшается. Также уменьшается относительная погрешность измерения длины ($\Delta l/l$) при постоянной абсолютной погрешности линейки. Наблюдаемое в опыте 5 отклонение от этой тенденции, вероятно, связано со случайной ошибкой при проведении данного конкретного измерения.

Ответ: Да, измеренное значение $g_{ср} = 9,83 \text{ м/с}^2$ незначительно отличается от известного значения $g = 9,8 \text{ м/с}^2$. Это связано с погрешностями измерений и неидеальностью экспериментальной установки. В проведенной серии измерений наиболее точный результат был получен при длине маятника $l=1,3$ м.