Номер 10, страница 243, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 60. Решение задач. Задачи для самостоятельного решения - номер 10, страница 243.

Условие.

10. Груз на пружине совершает гармонические колебания с периодом 0,3 с. На сколько уменьшится длина пружины, если снять с неё груз?

Решение.

Дано:

Период колебаний груза на пружине, $T = 0,3$ с.

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Уменьшение длины пружины, $\Delta x$ - ?

Решение:

Когда груз снимают с пружины, её длина уменьшается на величину, равную её растяжению в положении равновесия под действием веса груза. Обозначим это растяжение (или удлинение) как $\Delta x$.

В положении равновесия сила упругости пружины $F_{упр}$, возникающая при растяжении, уравновешивает силу тяжести $F_{тяж}$, действующую на груз:
$F_{упр} = F_{тяж}$

Согласно закону Гука, сила упругости равна $F_{упр} = k \cdot \Delta x$, где $\text{k}$ – жёсткость пружины. Сила тяжести равна $F_{тяж} = m \cdot g$, где $\text{m}$ – масса груза.
Приравнивая силы, получаем:
$k \cdot \Delta x = m \cdot g$
Отсюда можно выразить искомое растяжение:
$\Delta x = \frac{m \cdot g}{k}$

Период гармонических колебаний пружинного маятника (груза на пружине) определяется формулой Томсона:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Чтобы найти отношение $\frac{m}{k}$, возведём обе части формулы периода в квадрат:
$T^2 = (2\pi)^2 \cdot \frac{m}{k} = 4\pi^2 \frac{m}{k}$
Из этого уравнения выразим отношение массы к жёсткости:
$\frac{m}{k} = \frac{T^2}{4\pi^2}$

Теперь подставим полученное выражение для $\frac{m}{k}$ в формулу для растяжения $\Delta x$:
$\Delta x = g \cdot \left(\frac{m}{k}\right) = g \frac{T^2}{4\pi^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Часто в физических задачах для упрощения расчетов используют приближение $g \approx \pi^2 (\approx 9,86 \text{ м/с}^2)$, что является хорошей точностью. С этим приближением формула значительно упрощается:
$\Delta x \approx \frac{\pi^2 \cdot T^2}{4\pi^2} = \frac{T^2}{4}$

Вычислим значение $\Delta x$:
$\Delta x = \frac{(0,3 \text{ с})^2}{4} = \frac{0,09 \text{ с}^2}{4} = 0,0225 \text{ м}$.

Переведём результат в сантиметры для наглядности:
$0,0225 \text{ м} = 2,25 \text{ см}$.

Ответ: длина пружины уменьшится на 2,25 см.