Номер 3, страница 243, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 60. Решение задач. Задачи для самостоятельного решения - номер 3, страница 243.

Условие.

3. Маятник часов имеет длину 25 см. Сколько времени длится одно колебание? Известно, что часы спешат на 1 мин в сутки. На сколько нужно изменить длину маятника, чтобы часы показывали точное время?

Решение.

Дано:

$l_1 = 25$ см

Часы спешат на $\Delta t = 1$ мин/сутки

Перевод в систему СИ:

$l_1 = 0.25$ м

$t_{сутки} = 1 \text{ сутки} = 24 \times 60 \times 60 = 86400 \text{ с}$

$\Delta t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

$T_1$ - ?

$\Delta l$ - ?

Решение:

Сколько времени длится одно колебание?

Время одного полного колебания маятника (период) можно рассчитать по формуле для периода математического маятника, так как угол колебаний в часах мал.

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Здесь $\text{l}$ — это длина маятника, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения (примем $g \approx 9.81$ м/с²). Подставим исходные данные для маятника длиной $l_1 = 0.25$ м:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} = 2 \times 3.1416 \times \sqrt{\frac{0.25 \text{ м}}{9.81 \text{ м/с}^2}} \approx 6.2832 \times \sqrt{0.02548 \text{ с}^2} \approx 6.2832 \times 0.1596 \text{ с} \approx 1.003 \text{ с}$

Ответ: Одно колебание длится примерно 1,00 с.

На сколько нужно изменить длину маятника, чтобы часы показывали точное время?

Известно, что часы спешат на 1 минуту в сутки. Это означает, что их маятник колеблется слишком быстро, и его период $T_1$ меньше, чем требуемый период $T_0$ для точного хода часов.

За одни реальные сутки (истинное время $t_{ист} = 86400$ с) спешащие часы показывают время $t_{показ} = 86400 \text{ с} + 60 \text{ с} = 86460$ с.

Отношение времени, которое показывают часы, к истинному времени равно отношению периода $T_0$ (для точного хода) к фактическому периоду $T_1$:

$\frac{t_{показ}}{t_{ист}} = \frac{T_0}{T_1}$

С другой стороны, отношение периодов колебаний маятника связано с отношением их длин:

$\frac{T_0}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{l_0/g}}{2\pi\sqrt{l_1/g}} = \sqrt{\frac{l_0}{l_1}}$

где $l_0$ — это искомая (правильная) длина маятника.

Приравнивая правые части двух предыдущих выражений, получаем:

$\sqrt{\frac{l_0}{l_1}} = \frac{t_{показ}}{t_{ист}}$

Чтобы найти новую длину $l_0$, возведем обе части в квадрат:

$l_0 = l_1 \left(\frac{t_{показ}}{t_{ист}}\right)^2 = 0.25 \text{ м} \times \left(\frac{86460 \text{ с}}{86400 \text{ с}}\right)^2 = 0.25 \text{ м} \times (1.000694...)^2 \approx 0.25 \text{ м} \times 1.001389 \approx 0.250347 \text{ м}$

Итак, для точного хода часов длина маятника должна составлять $l_0 \approx 0.250347$ м. Теперь найдем, на сколько нужно изменить исходную длину $l_1$:

$\Delta l = l_0 - l_1 = 0.250347 \text{ м} - 0.25 \text{ м} = 0.000347 \text{ м}$

Переведем это значение в миллиметры: $0.000347 \text{ м} = 0.347 \text{ мм}$.

Поскольку часы спешили (период был слишком маленьким), для их исправления нужно увеличить период, а для этого необходимо увеличить длину маятника.

Ответ: Длину маятника нужно увеличить примерно на 0,35 мм.