Номер 8, страница 243, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 60. Решение задач. Задачи для самостоятельного решения - номер 8, страница 243.

Условие.

8. На пружине жёсткостью 25 Н/м подвешен груз массой 160 г. Определите период колебаний груза на пружине. Постройте график колебаний, если их амплитуда составляет 3 см. При построении графика примите, что в момент времени $t = 0$ координата $x = 0$.

Решение.

Дано:

Жёсткость пружины, $k = 25$ Н/м

Масса груза, $m = 160$ г

Амплитуда колебаний, $A = 3$ см

Начальное условие: при $t = 0$, координата $x = 0$

Перевод в систему СИ:

Масса, $m = 160 \text{ г} = 0.16 \text{ кг}$

Амплитуда, $A = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Период колебаний, $\text{T}$ - ?

График колебаний $x(t)$

Решение:

Определите период колебаний груза на пружине.

Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Подставим известные значения в формулу:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{0.16 \text{ кг}}{25 \text{ Н/м}}} = 2\pi\sqrt{0.0064 \text{ с}^2} = 2\pi \cdot 0.08 \text{ с} = 0.16\pi \text{ с}$

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3.14$:

$T \approx 0.16 \cdot 3.14 = 0.5024 \text{ с} \approx 0.50 \text{ с}$

Ответ: Период колебаний груза на пружине составляет $T = 0.16\pi \text{ с}$, что приблизительно равно $0.50$ с.

Постройте график колебаний, если их амплитуда составляет 3 см. При построении графика примите, что в момент времени t = 0 координата x = 0.

Уравнение гармонических колебаний в общем виде:

$x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$

где $\text{A}$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая (круговая) частота, $\text{t}$ – время, $\phi_0$ – начальная фаза.

Амплитуда дана в условии: $A = 3$ см.

Циклическая частота связана с периодом соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.16\pi} = \frac{2}{0.16} = 12.5 \text{ рад/с}$

Начальную фазу $\phi_0$ найдем из начальных условий. В момент времени $t = 0$ координата $x = 0$.

$x(0) = A \sin(\omega \cdot 0 + \phi_0) = A \sin(\phi_0)$

$0 = A \sin(\phi_0)$

Так как амплитуда $A \neq 0$, то $\sin(\phi_0) = 0$. Простейшее решение этого уравнения – $\phi_0 = 0$. Это означает, что в начальный момент времени тело проходит положение равновесия, двигаясь в положительном направлении оси $\text{x}$.

Таким образом, уравнение движения груза имеет вид (координата $\text{x}$ в сантиметрах, время $\text{t}$ в секундах):

$x(t) = 3 \sin(12.5 t)$

Для построения графика колебаний необходимо изобразить зависимость координаты $\text{x}$ от времени $\text{t}$. Это синусоида.

Описание графика:

1. Оси координат: горизонтальная ось – время $\text{t}$ (в секундах), вертикальная ось – координата $\text{x}$ (в сантиметрах).

2. График представляет собой синусоиду, начинающуюся в точке (0, 0).

3. Амплитуда колебаний равна 3 см, поэтому максимальное отклонение от положения равновесия составляет +3 см, а минимальное – -3 см.

4. Период колебаний $T \approx 0.50$ с. Это означает, что один полный цикл колебаний завершается за 0.50 с.

5. Ключевые точки одного периода:

• $t=0$ с, $x=0$ см (начало колебаний, положение равновесия).
• $t=T/4 \approx 0.125$ с, $x=3$ см (максимальное отклонение в положительную сторону).
• $t=T/2 \approx 0.25$ с, $x=0$ см (возвращение в положение равновесия).
• $t=3T/4 \approx 0.375$ с, $x=-3$ см (максимальное отклонение в отрицательную сторону).
• $t=T \approx 0.50$ с, $x=0$ см (завершение первого полного колебания).

Далее график периодически повторяется.

Ответ: График колебаний представляет собой синусоиду, описываемую уравнением $x(t) = 3 \sin(12.5 t)$ (где $\text{x}$ в см, $\text{t}$ в с), с амплитудой 3 см и периодом приблизительно 0.50 с, проходящую через начало координат.