Лабораторная работа №6, страница 245, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 61. Лабораторные и исследовательские работы. Лабораторные работы - страница 245.

Условие.

Лабораторная работа № 6

Изучение колебаний пружинного маятника

Цель работы

Выяснить, от каких величин зависит и от каких не зависит период колебаний пружинного маятника.

Оборудование и материалы

Штатив с муфтой и лапкой, набор грузов по механике, набор пружин различной жёсткости, динамометр, секундомер, линейка.

Теоретическая справка

Период гармонических колебаний идеального пружинного маятника вычисляется по формуле

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ (2)

где $\text{m}$ — масса груза; $\text{k}$ — жёсткость пружины.

Это означает, что период колебаний не зависит от амплитуды колебаний, но зависит от массы груза и жёсткости пружины.

Выполните измерения с реальным пружинным маятником и установите, насколько хорошо эта формула выполняется для реального пружинного маятника.

Ход работы

Задание 1. Зависимость периода колебаний пружинного маятника от массы груза

• Закрепите пружину в штативе и подвесьте к ней один груз массой $m = 0,05$ кг.
• Измерьте удлинение $\Delta x$ пружины с подвешенным грузом.
• Вычислите жёсткость пружины по формуле $k = \frac{mg}{\Delta x}$ (поскольку сила тяжести груза уравновешивается силой упругости пружины: $k\Delta x = mg$).
• Отклоните груз вниз от положения равновесия на 1—2 см и отпустите.
• Измерьте время $\text{t}$, за которое маятник совершает $N = 20$ полных колебаний.
• Проведите несколько таких измерений, прикрепляя к пружине поочерёдно 2, 3, 4 и 5 грузов.
• Для каждого опыта вычислите период колебаний пружинного маятника:

$T_{\text{эксп}} = \frac{t}{N}$.

• Вычислите теоретическое значение периода колебаний пружинного маятника по формуле (2).
• Результаты измерений и вычислений запишите в таблицу в своей тетради.

№ опыта	$\text{k}$, Н/м	$\text{m}$, кг	$\text{t}$, с	$\text{N}$	$T_{\text{эксп}}$, с	$T_{\text{теор}}$, с

• Постройте график зависимости периода колебаний пружинного маятника $T_{\text{эксп}}$ от массы груза $\text{m}$, соединив экспериментальные точки плавной линией.
• Другим цветом постройте график зависимости периода колебаний пружинного маятника $T_{\text{теор}}$ от массы груза $\text{m}$. Совпадают ли они?
• Сделайте вывод о том, как зависит период колебаний пружинного маятника от массы груза.

Задание 2. Зависимость периода колебаний пружинного маятника от жёсткости пружины

• Закрепите пружину в штативе и подвесьте к ней один груз массой $m = 0,1$ кг.
• Вычислите жёсткость пружины по формуле $k = \frac{mg}{\Delta x}$, как описано ранее.
• Отклоните груз вниз от положения равновесия на 1—2 см и отпустите.
• Измерьте время $\text{t}$, за которое маятник совершает $N = 20$ полных колебаний.
• Определите описанным способом жёсткости остальных пружин и повторите опыты при одной и той же массе груза.
• Для каждого опыта вычислите период колебаний пружинного маятника:

$T_{\text{эксп}} = \frac{t}{N}$.

• Вычислите теоретическое значение периода колебаний пружинного маятника по формуле (2).
• Результаты измерений и вычислений запишите в таблицу в тетради.

№ опыта	$\text{k}$, Н/м	$\text{m}$, кг	$\text{t}$, с	$\text{N}$	$T_{\text{эксп}}$, с	$T_{\text{теор}}$, с

• Постройте график зависимости периода колебаний пружинного маятника $T_{\text{эксп}}$ от жёсткости пружины $\text{k}$, соединив экспериментальные точки плавной линией.
• Другим цветом постройте график зависимости периода колебаний пружинного маятника $T_{\text{теор}}$ от жёсткости пружины $\text{k}$. Совпадают ли они?
• Сделайте вывод о том, как период колебаний пружинного маятника зависит от жёсткости пружины.

Задание 3. Зависимость периода колебаний пружинного маятника от амплитуды

• Закрепите пружину в штативе и подвесьте к ней один груз массой $m = 0,1$ кг.
• Отклоните груз пружинного маятника вниз от положения равновесия на расстояние $A = 1$ см и отпустите.
• Измерьте время $\text{t}$, за которое маятник совершает $N = 20$ полных колебаний.
• Повторите измерения с различными амплитудами колебаний (например, от 1 см до 5 см).
• Для каждого опыта вычислите период колебаний пружинного маятника:

$T_{\text{эксп}} = \frac{t}{N}$.

• Результаты измерений и вычислений запишите в таблицу в своей тетради.

№ опыта	$\text{k}$, Н/м	$\text{m}$, кг	$\text{A}$, см	$\text{t}$, с	$\text{N}$	$T_{\text{эксп}}$, с

• Сделайте вывод о зависимости периода колебаний пружинного маятника от амплитуды.
• Как вы думаете, будет ли зависеть период колебаний пружинного маятника от амплитуды при больших значениях $\text{A}$?

Решение.

Задание 1. Зависимость периода колебаний пружинного маятника от массы груза

Для выполнения этого задания предположим, что мы провели необходимые измерения. Сначала определим жёсткость пружины $\text{k}$. Для этого подвесим к пружине один груз массой $m = 0,05$ кг и измерим её удлинение, которое оказалось равным $\Delta x = 2$ см.

Дано:

$m_1 = 0,05$ кг
$\Delta x = 2$ см = $0,02$ м
$g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

$\text{k}$ - ?

Решение:

В положении равновесия сила тяжести, действующая на груз, уравновешена силой упругости пружины:

$F_{тяж} = F_{упр}$

$m_1 g = k \Delta x$

Отсюда находим жёсткость пружины:

$k = \frac{m_1 g}{\Delta x} = \frac{0,05 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{0,02 \text{ м}} = 24,5$ Н/м.

Теперь, зная жёсткость пружины, проведём серию экспериментов с разным количеством грузов (от 1 до 5), каждый раз измеряя время $\text{t}$ для $N=20$ полных колебаний. Масса одного груза $0,05$ кг.

Для каждого опыта рассчитаем экспериментальный период колебаний $T_{эксп} = \frac{t}{N}$ и теоретический период по формуле $T_{теор} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

Результаты измерений и вычислений занесём в таблицу:

№ опыта	k, Н/м	m, кг	t, с	N	Tэксп, с	Tтеор, с
1	24,5	0,05	5,7	20	0,285	0,283
2	24,5	0,10	8,1	20	0,405	0,401
3	24,5	0,15	9,9	20	0,495	0,491
4	24,5	0,20	11,4	20	0,570	0,567
5	24,5	0,25	12,7	20	0,635	0,634

Построим графики зависимости периода колебаний от массы $T(m)$. Экспериментальные точки $T_{эксп}(m)$ ложатся на плавную кривую. Теоретический график $T_{теор}(m)$, построенный по формуле $T = 2\pi\sqrt{m/k}$, также является кривой (ветвью параболы). Оба графика практически совпадают, что подтверждает правильность теоретической формулы в рамках погрешности эксперимента.

Вывод: Период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза. С увеличением массы груза период колебаний увеличивается. Эта зависимость является нелинейной: период пропорционален квадратному корню из массы ($T \propto \sqrt{m}$).

Ответ: Период колебаний пружинного маятника прямо пропорционален квадратному корню из массы подвешенного к ней груза.

Задание 2. Зависимость периода колебаний пружинного маятника от жёсткости пружины

В этом задании мы используем груз постоянной массы и несколько пружин с разной жёсткостью. Для каждой пружины определим её жёсткость, измерив удлинение под действием груза, а затем измерим период колебаний.

Дано:

$m = 0,1$ кг
$N = 20$
$g \approx 9,8$ м/с²

Решение:

Проведём измерения для трёх разных пружин. Для каждой пружины сначала определим её жёсткость $\text{k}$ по формуле $k = \frac{mg}{\Delta x}$, измерив удлинение $\Delta x$ под действием груза. Затем для каждой пружины измерим время $\text{t}$ для $N=20$ колебаний и рассчитаем экспериментальный ($T_{эксп} = t/N$) и теоретический ($T_{теор} = 2\pi\sqrt{m/k}$) периоды.

Предположим, были получены следующие результаты:

• Для пружины 1: $\Delta x_1 = 4,0$ см = $0,040$ м $\implies k_1 = \frac{0,1 \cdot 9,8}{0,040} = 24,5$ Н/м. Время колебаний $t_1 = 8,1$ с.
• Для пружины 2: $\Delta x_2 = 2,5$ см = $0,025$ м $\implies k_2 = \frac{0,1 \cdot 9,8}{0,025} = 39,2$ Н/м. Время колебаний $t_2 = 6,4$ с.
• Для пружины 3: $\Delta x_3 = 1,5$ см = $0,015$ м $\implies k_3 = \frac{0,1 \cdot 9,8}{0,015} \approx 65,3$ Н/м. Время колебаний $t_3 = 5,0$ с.

Результаты измерений и вычислений занесём в таблицу:

№ опыта	k, Н/м	m, кг	t, с	N	Tэксп, с	Tтеор, с
1	24,5	0,1	8,1	20	0,405	0,401
2	39,2	0,1	6,4	20	0,320	0,317
3	65,3	0,1	5,0	20	0,250	0,246

Построим графики зависимости периода колебаний от жёсткости $T(k)$. Экспериментальные точки $T_{эксп}(k)$ и теоретическая кривая $T_{теор}(k)$, построенная по формуле $T = 2\pi\sqrt{m/k}$, являются убывающими кривыми (по форме напоминающими гиперболу) и практически совпадают.

Вывод: Период колебаний пружинного маятника зависит от жёсткости пружины. С увеличением жёсткости пружины период колебаний уменьшается. Период обратно пропорционален квадратному корню из жёсткости ($T \propto 1/\sqrt{k}$).

Ответ: Период колебаний пружинного маятника обратно пропорционален квадратному корню из жёсткости пружины.

Задание 3. Зависимость периода колебаний пружинного маятника от амплитуды

В этом эксперименте мы будем использовать одну и ту же пружину и один и тот же груз, но будем изменять начальное отклонение от положения равновесия (амплитуду).

Дано:

$m = 0,1$ кг
$k = 24,5$ Н/м (из предыдущих опытов)
$N = 20$

Решение:

Проведём серию измерений времени $\text{t}$ для $N=20$ колебаний при различных амплитудах $\text{A}$ от 1 см до 5 см. Для каждого измерения рассчитаем экспериментальный период по формуле $T_{эксп} = t/N$.

Результаты измерений и вычислений занесём в таблицу:

№ опыта	k, Н/м	m, кг	A, см	t, с	N	Tэксп, с
1	24,5	0,1	1,0	8,1	20	0,405
2	24,5	0,1	2,0	8,0	20	0,400
3	24,5	0,1	3,0	8,1	20	0,405
4	24,5	0,1	4,0	8,2	20	0,410
5	24,5	0,1	5,0	8,1	20	0,405

Анализируя полученные данные, можно заметить, что значения экспериментального периода $T_{эксп}$ колеблются вокруг среднего значения (примерно 0,405 с) и не показывают систематического увеличения или уменьшения с ростом амплитуды. Разброс значений можно объяснить погрешностями измерений (например, неточностью запуска и остановки секундомера).

Вывод о зависимости периода колебаний пружинного маятника от амплитуды:

В пределах точности эксперимента, для малых амплитуд колебаний, период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды.

Как вы думаете, будет ли зависеть период колебаний пружинного маятника от амплитуды при больших значениях A?

Да, при больших значениях амплитуды зависимость, скорее всего, появится. Это связано с несколькими причинами. Во-первых, закон Гука ($F_{упр} = -kx$), описывающий силу упругости, строго выполняется только для малых деформаций. При больших растяжениях пружины её поведение может стать нелинейным, и сила упругости перестанет быть прямо пропорциональной деформации. Это приведёт к тому, что колебания перестанут быть гармоническими, и их период начнёт зависеть от амплитуды. Во-вторых, при больших амплитудах возрастает скорость движения груза, а значит, и сила сопротивления воздуха, которой мы обычно пренебрегаем. Эта сила также может внести свой вклад в изменение периода колебаний.

Ответ: Для малых амплитуд период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды. При больших амплитудах, когда закон Гука перестаёт выполняться, такая зависимость, как правило, появляется.