Номер 4, страница 243, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 60. Решение задач. Задачи для самостоятельного решения - номер 4, страница 243.

Условие.

4. Определите отношение длин маятников, если за одно и то же время один из них совершил 90 колебаний, а другой — 60.

Решение.

Дано:

Число колебаний первого маятника, $N_1 = 90$.

Число колебаний второго маятника, $N_2 = 60$.

Время колебаний для обоих маятников одинаково, $\text{t}$.

Найти:

Отношение длин маятников $\frac{l_1}{l_2}$ — ?

Решение:

Период колебаний математического маятника $\text{T}$ связан с его длиной $\text{l}$ и ускорением свободного падения $\text{g}$ следующей формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Из этой формулы можно выразить длину маятника:

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{l}{g} \implies l = \frac{g T^2}{4\pi^2}$

Таким образом, длина маятника прямо пропорциональна квадрату его периода ($l \sim T^2$).

Период колебаний также можно определить как время, деленное на число совершенных за это время колебаний:

$T = \frac{t}{N}$

Запишем периоды для каждого маятника:

Для первого маятника: $T_1 = \frac{t}{N_1}$

Для второго маятника: $T_2 = \frac{t}{N_2}$

Найдем отношение их периодов:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{t/N_1}{t/N_2} = \frac{t}{N_1} \cdot \frac{N_2}{t} = \frac{N_2}{N_1}$

Теперь найдем отношение длин маятников, используя пропорциональность $l \sim T^2$:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2$

Подставим в это выражение отношение периодов, выраженное через число колебаний:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$

Подставим известные значения $N_1=90$ и $N_2=60$:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{60}{90}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$

Это отношение длины маятника, совершившего 90 колебаний, к длине маятника, совершившего 60 колебаний.

Если найти обратное отношение (длины второго маятника к первому), то оно будет равно:

$\frac{l_2}{l_1} = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 = \left(\frac{90}{60}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$

Поскольку в задаче не уточнено, отношение какой длины к какой нужно найти, оба ответа верны. Приведем первый вариант.

Ответ: Отношение длины маятника, совершившего 90 колебаний, к длине маятника, совершившего 60 колебаний, равно $4/9$.