Номер 3, страница 31 - гдз по физике 9 класс самостоятельные работы Генденштейн, Орлов

Самостоятельная работа 5. Энергия. Вариант 3 - номер 3, страница 31.

Условие.

3*. На какой высоте кинетическая энергия тела равна его потенциальной энергии?

Решение.

Для ответа на этот вопрос необходимо сделать предположение о характере движения тела. Будем рассматривать наиболее распространенный случай: движение тела в поле тяжести Земли (например, свободное падение с некоторой высоты или полет тела, брошенного вертикально вверх) без учета сопротивления воздуха.

Дано:
Тело движется в поле тяготения Земли.
$E_k = E_p$ — условие равенства кинетической и потенциальной энергий.
$H$ — максимальная высота движения тела (начальная высота, с которой тело падает, или максимальная высота подъема).

Найти:
$h$ — высота, на которой выполняется условие $E_k = E_p$.

Решение:
Воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. В любой момент времени сумма кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий тела остается постоянной, если на тело не действуют силы сопротивления.
$E_{total} = E_k + E_p = const$
Полную механическую энергию системы удобно определить в точке максимальной высоты $H$. В этой точке скорость тела равна нулю ($v=0$), поэтому его кинетическая энергия также равна нулю ($E_k = 0$). Потенциальная энергия в этой точке максимальна и равна $E_{p,max} = mgH$, где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения.
Таким образом, полная механическая энергия тела в любой точке его траектории равна:
$E_{total} = E_{p,max} = mgH$
Теперь рассмотрим состояние тела на искомой высоте $h$. В этой точке тело обладает как кинетической энергией $E_k(h)$, так и потенциальной $E_p(h) = mgh$.
Согласно закону сохранения энергии:
$E_{total} = E_k(h) + E_p(h)$
Подставим сюда выражение для полной энергии:
$mgH = E_k(h) + E_p(h)$
По условию задачи, на высоте $h$ кинетическая энергия равна потенциальной:
$E_k(h) = E_p(h)$
Подставим это условие в уравнение сохранения энергии:
$mgH = E_p(h) + E_p(h) = 2 \cdot E_p(h)$
Теперь заменим $E_p(h)$ на ее выражение через высоту $h$:
$mgH = 2 \cdot (mgh)$
Мы можем сократить обе части уравнения на $mg$, так как масса тела и ускорение свободного падения не равны нулю:
$H = 2h$
Отсюда находим искомую высоту $h$:
$h = \frac{H}{2}$

Ответ: Кинетическая энергия тела равна его потенциальной энергии на высоте, составляющей половину от максимальной высоты его движения (относительно уровня, где потенциальная энергия принята за ноль).