Номер 4, страница 31 - гдз по физике 9 класс самостоятельные работы Генденштейн, Орлов

Самостоятельная работа 5. Энергия. Вариант 3 - номер 4, страница 31.

Условие.

4*. Через сколько времени после начала падения кинетическая энергия тела будет в 3 раза меньше его потенциальной энергии?

Решение.

Дано:

Падение тела свободное, следовательно, начальная скорость $v_0 = 0$.

Ускорение тела равно ускорению свободного падения $g$.

Соотношение между кинетической ($E_к$) и потенциальной ($E_п$) энергиями в искомый момент времени $t$: $E_п = 3 \cdot E_к$.

Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Найти:

Время $t$, через которое наступит указанное соотношение энергий.

Решение:

Запишем закон сохранения полной механической энергии для падающего тела. В качестве нулевого уровня потенциальной энергии выберем поверхность, на которую падает тело.

Пусть тело начинает падение с высоты $H$. В начальный момент времени ($t=0$) его скорость равна нулю, поэтому начальная кинетическая энергия $E_{к0} = 0$. Начальная потенциальная энергия равна $E_{п0} = mgH$. Полная механическая энергия тела $E_{полн}$ сохраняется в процессе падения и равна начальной энергии:

$E_{полн} = E_{к0} + E_{п0} = 0 + mgH = mgH$

В произвольный момент времени $t$ тело будет иметь скорость $v$ и находиться на высоте $h$. Его кинетическая и потенциальная энергии будут равны:

$E_к(t) = \frac{1}{2}mv^2$

$E_п(t) = mgh$

По закону сохранения энергии, их сумма в любой момент времени равна полной энергии:

$E_к(t) + E_п(t) = mgH$

Из условия задачи известно, что в искомый момент времени $t$ выполняется соотношение $E_п(t) = 3E_к(t)$. Подставим это в закон сохранения энергии:

$E_к(t) + 3E_к(t) = mgH$

$4E_к(t) = mgH$

Отсюда находим значение кинетической энергии в этот момент:

$E_к(t) = \frac{1}{4}mgH$

Скорость тела при свободном падении без начальной скорости изменяется со временем по закону $v = gt$. Подставим это выражение в формулу для кинетической энергии:

$E_к(t) = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(gt)^2 = \frac{1}{2}mg^2t^2$

Теперь приравняем два полученных выражения для кинетической энергии:

$\frac{1}{2}mg^2t^2 = \frac{1}{4}mgH$

Сократим обе части уравнения на $mg$:

$\frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{4}H$

Выразим отсюда $t^2$:

$t^2 = \frac{2H}{4g} = \frac{H}{2g}$

Следовательно, искомое время $t$ равно:

$t = \sqrt{\frac{H}{2g}}$

Полученное выражение зависит от начальной высоты $H$, которая не указана в условии задачи. Однако, мы можем выразить ответ через полное время падения $T$. Время, за которое тело пролетит всю высоту $H$, определяется из формулы $H = \frac{gT^2}{2}$. Отсюда $T = \sqrt{\frac{2H}{g}}$.

Сравним найденное время $t$ с полным временем падения $T$:

$t = \sqrt{\frac{H}{2g}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2H}{g}} = \frac{T}{2}$

Таким образом, требуемое условие будет выполнено, когда пройдет время, равное половине полного времени падения.

Ответ: Время, через которое кинетическая энергия тела будет в 3 раза меньше его потенциальной энергии, составляет половину от полного времени падения с начальной высоты ($t = T/2$), где $T$ - полное время падения. В зависимости от начальной высоты $H$ это время равно $t = \sqrt{\frac{H}{2g}}$.