Номер 16, страница 11, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава I. Кинематика. Параграф 1. Система отсчёта, траектория, путь и перемещение - номер 16, страница 11.

Условие.

16. Божья коровка ползёт по сторонам нарисованного на столе квадрата со стороной 10 см, проходя весь квадрат по часовой стрелке. В начальном положении божья коровка находилась в одном из углов квадрата.

а) Изобразите в тетради траекторию движения божьей коровки и отметьте буквой А её начальное положение.

б) Отметьте буквой B положение божьей коровки в момент, когда пройденный ею путь был в 3 раза больше модуля перемещения.

в) Отметьте буквой C положение божьей коровки в момент, когда модуль её перемещения был наибольшим.

Решение.

Дано:

Сторона квадрата, $a = 10 \text{ см}$

Движение по часовой стрелке.

Перевод в систему СИ:

$a = 0,1 \text{ м}$

Найти:

а) Траекторию движения и начальное положение $\text{A}$.

б) Положение $\text{B}$, когда пройденный путь $\text{S}$ в 3 раза больше модуля перемещения $|\vec{r}|$.

в) Положение $\text{C}$, когда модуль перемещения $|\vec{r}|$ наибольший.

Решение:

а) Изобразите в тетради траекторию движения божьей коровки и отметьте буквой A её начальное положение.

Траектория движения божьей коровки представляет собой периметр квадрата. Начальное положение $\text{A}$ — один из углов этого квадрата. Направление движения — по часовой стрелке. Примем начальное положение $\text{A}$ в левом верхнем углу квадрата.

Ответ: Траектория движения — периметр квадрата, а начальное положение A — один из его углов.

б) Отметьте буквой B положение божьей коровки в момент, когда пройденный ею путь был в 3 раза больше модуля перемещения.

Введем систему координат так, чтобы начальная точка $\text{A}$ находилась в начале координат $A(0, 0)$, а сторона квадрата $a=10$ см. При движении по часовой стрелке вершины квадрата будут иметь координаты $A(0, 0)$, $V_1(10, 0)$, $V_2(10, -10)$ и $V_3(0, -10)$.

Пройденный путь $\text{S}$ — это длина траектории от точки $\text{A}$ до текущего положения. Модуль перемещения $|\vec{r}|$ — это расстояние по прямой от точки $\text{A}$ до текущего положения. Нам нужно найти точку, для которой $S = 3|\vec{r}|$.

Проанализируем движение по каждой стороне:

1. На первой стороне (от $\text{A}$ до $V_1$) для точки $P(x, 0)$ путь $S=x$ и перемещение $|\vec{r}|=x$. Условие $x = 3x$ выполняется только при $x=0$, в начальной точке.

2. На второй стороне (от $V_1$ до $V_2$) для точки $P(10, y)$ путь $S = 10 + |y| = 10-y$, а перемещение $|\vec{r}| = \sqrt{10^2 + y^2}$. Уравнение $10-y = 3\sqrt{100+y^2}$ не имеет действительных решений.

3. На третьей стороне (от $V_2$ до $V_3$) для точки $P(x, -10)$ путь $S = 10 + 10 + (10-x) = 30-x$, а перемещение $|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + (-10)^2} = \sqrt{x^2+100}$. Получаем уравнение:

$30-x = 3\sqrt{x^2+100}$

Возведем обе части в квадрат: $(30-x)^2 = 9(x^2+100)$, что дает $900 - 60x + x^2 = 9x^2 + 900$. Упростив, получаем $8x^2 + 60x = 0$, или $4x(2x+15)=0$. Решениями являются $x=0$ и $x=-7.5$. Поскольку точка находится на стороне квадрата, где $0 \le x \le 10$, единственное подходящее решение — $x=0$.

Это соответствует точке с координатами $(0, -10)$, то есть вершине $V_3$. Проверим это решение: путь $S = 30-0=30$ см. Перемещение $|\vec{r}| = \sqrt{0^2 + (-10)^2}=10$ см. Действительно, $30 = 3 \cdot 10$.

Ответ: Точка $\text{B}$ — это третья по счету вершина квадрата при движении от точки $\text{A}$ по часовой стрелке. Если $\text{A}$ — левый верхний угол, то $\text{B}$ — левый нижний угол.

в) Отметьте буквой C положение божьей коровки в момент, когда модуль её перемещения был наибольшим.

Модуль перемещения — это расстояние по прямой от начальной точки $\text{A}$ до текущей точки. Для любой точки на периметре квадрата расстояние от одной из его вершин будет максимальным, когда эта точка является противоположной по диагонали вершиной.

Максимальный модуль перемещения равен длине диагонали квадрата: $|\vec{r}|_{max} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Для $a=10$ см, это $10\sqrt{2} \approx 14,14$ см.

Ответ: Точка $\text{C}$ — это вершина квадрата, противоположная по диагонали начальной точке $\text{A}$. Если $\text{A}$ — левый верхний угол, то $\text{C}$ — правый нижний угол.

Итоговое расположение точек на квадрате (если принять $\text{A}$ за левый верхний угол):