Номер 30, страница 56, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава I. Кинематика. Параграф 5. Равномерное движение по окружности - номер 30, страница 56.

Условие.

30. Просматривая свою видеосъёмку, школьник с удивлением обнаружил, что три лопасти работающего вентилятора на экране кажутся неподвижными. Чему может быть равна частота вращения лопастей вентилятора, если видеокамера делает 24 кадра в секунду?

Решение.

Дано

Количество лопастей вентилятора: $ N = 3 $

Частота съёмки видеокамеры: $ f_{кам} = 24 \text{ кадра/с} = 24 \text{ Гц} $

Найти:

Частота вращения лопастей вентилятора: $ f_{вент} $

Решение

Эффект, при котором вращающиеся лопасти на видеозаписи кажутся неподвижными, называется стробоскопическим эффектом. Он возникает, когда частота съёмки (частота кадров) камеры и частота вращения объекта находятся в определённом соотношении.

Чтобы три лопасти вентилятора казались неподвижными, за время, проходящее между съёмкой двух последовательных кадров, каждая лопасть должна переместиться в положение, которое до этого занимала другая лопасть. В этом случае визуальное изображение вентилятора не будет меняться от кадра к кадру.

У вентилятора три лопасти, расположенные симметрично. Следовательно, угол между двумя соседними лопастями составляет:

$ \alpha = \frac{360^\circ}{N} = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ $

Время между двумя последовательными кадрами определяется частотой съёмки камеры:

$ \Delta t = \frac{1}{f_{кам}} = \frac{1}{24} \text{ с} $

За это время $ \Delta t $ вентилятор должен повернуться на угол $ \Delta \phi $, кратный углу между лопастями $ \alpha $:

$ \Delta \phi = k \cdot \alpha = k \cdot 120^\circ $, где $ k $ — любое целое положительное число ($k = 1, 2, 3, ...$).

Угловая скорость вращения вентилятора $ \omega $ определяется как $ \omega = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} $. Частота вращения $ f_{вент} $ (число оборотов в секунду, или герц) связана с угловой скоростью формулой $ \omega = 2\pi f_{вент} $.

Выразим частоту вращения:

$ f_{вент} = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\Delta \phi}{2\pi \Delta t} $

Для удобства вычислений переведём угол $ \alpha $ в радианы: $ \alpha = 120^\circ = \frac{2\pi}{3} $ рад.

Подставим выражения для $ \Delta \phi $ и $ \Delta t $ в формулу для частоты:

$ f_{вент} = \frac{k \cdot (2\pi/3)}{2\pi \cdot (1/24)} = k \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{24}{2\pi} = k \cdot \frac{24}{3} = 8k $

Таким образом, частота вращения вентилятора должна быть кратна 8 Гц.

Возможные значения частоты вращения:

• При $ k=1 $: $ f_{вент} = 8 \cdot 1 = 8 \text{ Гц} $ (8 оборотов в секунду)
• При $ k=2 $: $ f_{вент} = 8 \cdot 2 = 16 \text{ Гц} $ (16 оборотов в секунду)
• При $ k=3 $: $ f_{вент} = 8 \cdot 3 = 24 \text{ Гц} $ (24 оборота в секунду)
• и так далее.

Ответ: Частота вращения лопастей вентилятора может быть равна любому значению, кратному 8 Гц. Общая формула: $ f_{вент} = 8k \text{ Гц} $, где $ k $ — любое целое положительное число ($k = 1, 2, 3, ...$). Например, 8 Гц, 16 Гц, 24 Гц.