Номер 158, страница 87, часть 2 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Материалы для повторения при подготовке к экзамену. 5. Тепловые явления - номер 158, страница 87.

Условие.

158. Чему равна начальная температура 10 л воды в алюминиевом ведре массой 900 г, если для доведения воды до кипения израсходовали 200 г бытового газа, а КПД горелки 40 %?

Решение.

Дано:

$V_в = 10$ л
$m_а = 900$ г
$m_г = 200$ г
$\eta = 40 \%$
$t_{кон} = 100$ °C (температура кипения воды)

Перевод в систему СИ и справочные данные:
$V_в = 10 \cdot 10^{-3}$ м$^3$
$m_а = 0.9$ кг
$m_г = 0.2$ кг
$\eta = 0.4$
$c_в = 4200$ Дж/(кг·°C) (удельная теплоемкость воды)
$c_а = 920$ Дж/(кг·°C) (удельная теплоемкость алюминия)
$q_г = 4.4 \cdot 10^7$ Дж/кг (удельная теплота сгорания бытового газа)
$\rho_в = 1000$ кг/м$^3$ (плотность воды)

Найти:

$t_{нач}$ — начальную температуру воды.

Решение:

1. Определим количество теплоты ($Q_{полн}$), которое выделяется при сгорании 200 г бытового газа.
$Q_{полн} = q_г \cdot m_г$
2. Учтем коэффициент полезного действия (КПД) горелки. Полезное количество теплоты ($Q_{полез}$), которое пошло на нагревание воды и ведра, составляет:
$Q_{полез} = \eta \cdot Q_{полн} = \eta \cdot q_г \cdot m_г$
3. Это полезное тепло пошло на нагревание воды и алюминиевого ведра от начальной температуры $t_{нач}$ до температуры кипения $t_{кон}$.
Количество теплоты, необходимое для нагревания воды ($Q_в$):
$Q_в = c_в \cdot m_в \cdot (t_{кон} - t_{нач})$
Массу воды ($m_в$) найдем, зная ее объем ($V_в$) и плотность ($\rho_в$):
$m_в = \rho_в \cdot V_в = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 10$ кг.
Количество теплоты, необходимое для нагревания алюминиевого ведра ($Q_а$):
$Q_а = c_а \cdot m_а \cdot (t_{кон} - t_{нач})$
4. Составим уравнение теплового баланса. Полезная теплота от сгорания газа равна сумме теплоты, поглощенной водой и ведром:
$Q_{полез} = Q_в + Q_а$
$\eta \cdot q_г \cdot m_г = c_в \cdot m_в \cdot (t_{кон} - t_{нач}) + c_а \cdot m_а \cdot (t_{кон} - t_{нач})$
Вынесем общий множитель $(t_{кон} - t_{нач})$ за скобки:
$\eta \cdot q_г \cdot m_г = (c_в \cdot m_в + c_а \cdot m_а) \cdot (t_{кон} - t_{нач})$
5. Выразим из этого уравнения искомую начальную температуру $t_{нач}$:
$t_{кон} - t_{нач} = \frac{\eta \cdot q_г \cdot m_г}{c_в \cdot m_в + c_а \cdot m_а}$
$t_{нач} = t_{кон} - \frac{\eta \cdot q_г \cdot m_г}{c_в \cdot m_в + c_а \cdot m_а}$
6. Подставим числовые значения и произведем расчеты:
$t_{нач} = 100 \text{ °C} - \frac{0.4 \cdot 4.4 \cdot 10^7 \text{ Дж/кг} \cdot 0.2 \text{ кг}}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг·°C}} \cdot 10 \text{ кг} + 920 \frac{\text{Дж}}{\text{кг·°C}} \cdot 0.9 \text{ кг}}$
$t_{нач} = 100 \text{ °C} - \frac{3.52 \cdot 10^6 \text{ Дж}}{42000 \frac{\text{Дж}}{\text{°C}} + 828 \frac{\text{Дж}}{\text{°C}}}$
$t_{нач} = 100 \text{ °C} - \frac{3.52 \cdot 10^6 \text{ Дж}}{42828 \frac{\text{Дж}}{\text{°C}}}$
$t_{нач} \approx 100 \text{ °C} - 82.19 \text{ °C}$
$t_{нач} \approx 17.8 \text{ °C}$

Ответ: начальная температура воды была приблизительно равна $17.8$ °C.