Номер 155, страница 87, часть 2 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Материалы для повторения при подготовке к экзамену. 5. Тепловые явления - номер 155, страница 87.

Условие.

155. Сколько холодной и сколько горячей воды надо смешать, чтобы получить 100 л воды при температуре 36 °C? Температура холодной воды равна 10 °C, а температура горячей воды равна 60 °C.

Решение.

Дано:

$V_{общ} = 100 \text{ л}$

$t_{общ} = 36 \text{ °C}$

$t_{х} = 10 \text{ °C}$

$t_{г} = 60 \text{ °C}$

$\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

$c = 4200 \text{ Дж/(кг \cdot °C)}$

Перевод в систему СИ:

$V_{общ} = 100 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.1 \text{ м}^3$

$T_{общ} = 36 + 273.15 = 309.15 \text{ К}$

$T_{х} = 10 + 273.15 = 283.15 \text{ К}$

$T_{г} = 60 + 273.15 = 333.15 \text{ К}$

Найти:

$V_{х} - ?$

$V_{г} - ?$

Решение:

При смешивании горячей и холодной воды происходит теплообмен. Горячая вода отдает тепло, а холодная — получает. В соответствии с законом сохранения энергии, количество теплоты, отданное горячей водой ($Q_{отд}$), равно количеству теплоты, полученному холодной водой ($Q_{получ}$), при условии отсутствия теплопотерь в окружающую среду.

Составим уравнение теплового баланса:

$Q_{получ} = Q_{отд}$

Количество теплоты рассчитывается по формуле $Q = c \cdot m \cdot \Delta t$, где $\text{c}$ — удельная теплоемкость воды, $\text{m}$ — масса воды, $\Delta t$ — изменение температуры.

Количество теплоты, полученное холодной водой:

$Q_{получ} = c \cdot m_{х} \cdot (t_{общ} - t_{х})$

Количество теплоты, отданное горячей водой:

$Q_{отд} = c \cdot m_{г} \cdot (t_{г} - t_{общ})$

Приравниваем эти два выражения:

$c \cdot m_{х} \cdot (t_{общ} - t_{х}) = c \cdot m_{г} \cdot (t_{г} - t_{общ})$

Удельную теплоемкость воды $\text{c}$ можно сократить:

$m_{х} \cdot (t_{общ} - t_{х}) = m_{г} \cdot (t_{г} - t_{общ})$

Массу воды можно выразить через объем и плотность: $m = \rho \cdot V$. Плотность холодной и горячей воды будем считать одинаковой ($\rho_{х} \approx \rho_{г} = \rho$).

$\rho \cdot V_{х} \cdot (t_{общ} - t_{х}) = \rho \cdot V_{г} \cdot (t_{г} - t_{общ})$

Плотность $\rho$ также сокращается:

$V_{х} \cdot (t_{общ} - t_{х}) = V_{г} \cdot (t_{г} - t_{общ})$

Суммарный объем смеси равен сумме объемов холодной и горячей воды:

$V_{х} + V_{г} = V_{общ}$

Отсюда выразим объем горячей воды:

$V_{г} = V_{общ} - V_{х}$

Подставим это выражение в уравнение теплового баланса:

$V_{х} \cdot (t_{общ} - t_{х}) = (V_{общ} - V_{х}) \cdot (t_{г} - t_{общ})$

Теперь подставим числовые значения:

$V_{х} \cdot (36 - 10) = (100 - V_{х}) \cdot (60 - 36)$

$V_{х} \cdot 26 = (100 - V_{х}) \cdot 24$

$26 \cdot V_{х} = 2400 - 24 \cdot V_{х}$

$26 \cdot V_{х} + 24 \cdot V_{х} = 2400$

$50 \cdot V_{х} = 2400$

$V_{х} = \frac{2400}{50} = 48 \text{ л}$

Теперь найдем объем горячей воды:

$V_{г} = 100 - V_{х} = 100 - 48 = 52 \text{ л}$

Ответ: для получения 100 л воды при температуре 36 °C необходимо смешать 48 л холодной воды и 52 л горячей воды.