Номер 3, страница 27, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 4. Механическая работа. Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии. Параграф 27. Потенциальная энергия - номер 3, страница 27.

Условие.

3. Над поверхностью Земли находятся две материальные точки массами $m_1$ и $m_2$. Первая точка находится на высоте $h_1$, вторая – на высоте $h_2$. Определите потенциальную энергию системы, состоящей из этих точек и Земли. Имеет ли смысл учитывать потенциальную энергию гравитационного взаимодействия этих точек друг с другом? Если нет, то объясните почему.

Решение.

Ответ: ___________.

Решение.

Решение

Потенциальная энергия системы

Полная потенциальная энергия системы, состоящей из трех тел (Земля, материальная точка $m_1$ и материальная точка $m_2$), равна сумме потенциальных энергий гравитационного взаимодействия каждой пары тел в системе.

$E_{p, \text{общ}} = E_{p(\text{Земля} - m_1)} + E_{p(\text{Земля} - m_2)} + E_{p(m_1 - m_2)}$

В задачах, где рассматриваются тела вблизи поверхности Земли, обычно используется приближенная формула для потенциальной энергии. Принимается, что ускорение свободного падения $g$ постоянно, а за нулевой уровень потенциальной энергии выбирается поверхность Земли. В этом случае потенциальная энергия тела массы $m$, поднятого на высоту $h$ ($h$ много меньше радиуса Земли), равна:

$E_p = mgh$

Используя это приближение, потенциальная энергия взаимодействия первой точки с Землей равна $E_{p1} = m_1 g h_1$, а второй точки — $E_{p2} = m_2 g h_2$.

Как будет показано далее, потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек друг с другом ($E_{p(m_1 - m_2)}$) пренебрежимо мала по сравнению с их энергией взаимодействия с Землей.

Следовательно, потенциальную энергию системы можно считать равной сумме потенциальных энергий этих точек в поле тяготения Земли:

$E_p = E_{p1} + E_{p2} = m_1 g h_1 + m_2 g h_2$

Ответ: Потенциальная энергия системы, состоящей из этих точек и Земли, определяется выражением $E_p = m_1 g h_1 + m_2 g h_2$.

Учет взаимодействия точек друг с другом

Учитывать потенциальную энергию гравитационного взаимодействия этих двух точек друг с другом не имеет смысла. Причина заключается в огромной разнице между массой Земли ($M_З \approx 5.97 \cdot 10^{24}$ кг) и массами рассматриваемых материальных точек ($m_1$ и $m_2$).

Сила гравитационного притяжения, действующая на каждую точку со стороны Земли, на много порядков превышает силу их взаимного притяжения. Сравним силу притяжения массы $m_1$ к Земле ($F_{З-1}$) и силу ее притяжения к массе $m_2$ ($F_{2-1}$):

$F_{З-1} = G \frac{M_З m_1}{(R_З+h_1)^2} \approx m_1 g$

$F_{2-1} = G \frac{m_2 m_1}{r_{12}^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $R_З$ — радиус Земли, а $r_{12}$ — расстояние между точками $m_1$ и $m_2$.

Отношение этих сил показывает, насколько одна меньше другой:

$\frac{F_{2-1}}{F_{З-1}} = \frac{G \frac{m_2 m_1}{r_{12}^2}}{G \frac{M_З m_1}{(R_З+h_1)^2}} = \frac{m_2}{M_З} \left(\frac{R_З+h_1}{r_{12}}\right)^2$

Так как отношение массы точки $m_2$ к массе Земли $\frac{m_2}{M_З}$ является чрезвычайно малой величиной, сила взаимного притяжения точек будет ничтожной по сравнению с силой их притяжения к Земле (при любых разумных расстояниях $r_{12}$ между ними).

Аналогичные соображения верны и для потенциальных энергий. Энергия гравитационного взаимодействия точек друг с другом будет пренебрежимо мала по сравнению с энергией их взаимодействия с Землей. Поэтому ее вкладом в общую энергию системы можно пренебречь без потери точности для большинства практических задач.

Ответ: Нет, не имеет смысла. Гравитационное взаимодействие точек друг с другом пренебрежимо мало по сравнению с их гравитационным взаимодействием с Землей из-за того, что масса Земли на много порядков больше масс данных точек.