Номер 15, страница 58, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 32. Преобразование энергии при механических колебаниях - номер 15, страница 58.

Условие.

15. За одно и то же время первый математический маятник делает $n_1 = 50$ колебаний, а второй – $n_2 = 30$ колебаний. Определите: а) отношение длин этих маятников; б) длину каждого из маятников, если разность их длин $\Delta l = 32$ см.

Решение.

Ответ: а) ________; б) ________

Решение.

Дано:

$n_1 = 50$

$n_2 = 30$

$\Delta l = 32 \text{ см}$

$\Delta l = 0.32 \text{ м}$

Найти:

а) отношение длин маятников $\frac{l_1}{l_2}$

б) длины каждого из маятников $l_1$ и $l_2$

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $l$ – длина маятника, а $g$ – ускорение свободного падения. Также период можно выразить через число колебаний $n$ за промежуток времени $t$ как $T = \frac{t}{n}$.

Поскольку по условию задачи время колебаний одинаково ($t_1 = t_2 = t$), мы можем записать:

$T_1 = \frac{t}{n_1}$ и $T_2 = \frac{t}{n_2}$

Найдем отношение периодов:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{t/n_1}{t/n_2} = \frac{n_2}{n_1}$

С другой стороны, из формулы периода для маятника:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{l_1/g}}{2\pi\sqrt{l_2/g}} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$

Приравнивая правые части этих выражений, получаем:

$\sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \frac{n_2}{n_1}$

Возведя обе части в квадрат, найдем искомое отношение длин:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2$

а) отношение длин этих маятников

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{30}{50}\right)^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$

В десятичной форме это $0.36$.

Ответ: Отношение длин маятников $\frac{l_1}{l_2} = \frac{9}{25}$ (или $0.36$).

б) длину каждого из маятников

Из пункта а) мы получили, что $\frac{l_1}{l_2} < 1$, следовательно $l_1 < l_2$. Значит, разность их длин можно записать как $l_2 - l_1 = \Delta l$.

Мы имеем систему из двух уравнений:

1) $\frac{l_1}{l_2} = \frac{9}{25}$

2) $l_2 - l_1 = 32 \text{ см}$

Из первого уравнения выразим $l_1$ через $l_2$:

$l_1 = \frac{9}{25}l_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$l_2 - \frac{9}{25}l_2 = 32$

$l_2\left(1 - \frac{9}{25}\right) = 32$

$l_2\left(\frac{25-9}{25}\right) = 32$

$l_2\left(\frac{16}{25}\right) = 32$

Теперь найдем $l_2$:

$l_2 = 32 \cdot \frac{25}{16} = 2 \cdot 25 = 50 \text{ см}$

Зная $l_2$, найдем $l_1$:

$l_1 = l_2 - 32 = 50 - 32 = 18 \text{ см}$

Ответ: Длина первого маятника $l_1 = 18$ см, длина второго маятника $l_2 = 50$ см.