Номер 9, страница 56, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 32. Преобразование энергии при механических колебаниях - номер 9, страница 56.

Условие.

9*. Подвешенный к потолку комнаты на лёгкой пружине груз растягивает её на величину $\Delta x_1$. Груз оттягивают вниз от равновесного положения на величину $\Delta x_2$ и, сообщив вертикально вверх скорость, модуль которой равен $v_0$, отпускают. После этого груз совершает гармонические колебания, двигаясь поступательно. Определите амплитуду и период колебаний груза.

Решение.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

Растяжение пружины в положении равновесия: $ \Delta x_1 $

Начальное смещение груза вниз от положения равновесия: $ \Delta x_2 $

Начальная скорость груза (направлена вверх): $ v_0 $

Найти:

Амплитуда колебаний $ A $

Период колебаний $ T $

Решение:

1. Определение периода колебаний $ T $.

В положении равновесия сила тяжести $ F_т = mg $, действующая на груз, уравновешивается силой упругости пружины $ F_{упр} = k \Delta x_1 $, где $ m $ - масса груза, $ k $ - жесткость пружины, $ g $ - ускорение свободного падения.

Из условия равновесия:

$ mg = k \Delta x_1 $

Отсюда можно выразить отношение массы к жесткости пружины:

$ \frac{m}{k} = \frac{\Delta x_1}{g} $

Период гармонических колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} $

Подставим в эту формулу полученное ранее соотношение:

$ T = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta x_1}{g}} $

2. Определение амплитуды колебаний $ A $.

Для определения амплитуды воспользуемся законом сохранения полной механической энергии для колебательной системы. Полная энергия $ E $ системы в любой момент времени складывается из кинетической энергии $ E_k $ и потенциальной энергии $ E_p $ и остается постоянной:

$ E = E_k + E_p = \text{const} $

За нулевой уровень потенциальной энергии примем положение равновесия груза. Тогда потенциальная энергия системы при смещении $ x $ от положения равновесия равна $ E_p = \frac{kx^2}{2} $, а кинетическая энергия $ E_k = \frac{mv^2}{2} $.

В момент максимального отклонения от положения равновесия (т.е. при $ x = A $), скорость груза равна нулю ($ v = 0 $). В этот момент вся энергия системы является потенциальной:

$ E = \frac{kA^2}{2} $

Рассмотрим начальный момент времени. Груз находится на расстоянии $ x_0 = \Delta x_2 $ ниже положения равновесия и ему сообщена скорость $ v_0 $, направленная вверх. Полная энергия системы в этот момент равна:

$ E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{k(\Delta x_2)^2}{2} $

Согласно закону сохранения энергии, $ E = E_0 $:

$ \frac{kA^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{k(\Delta x_2)^2}{2} $

Умножим обе части уравнения на 2 и разделим на $ k $:

$ A^2 = \frac{m}{k}v_0^2 + (\Delta x_2)^2 $

Подставим ранее найденное выражение для $ \frac{m}{k} = \frac{\Delta x_1}{g} $:

$ A^2 = \frac{\Delta x_1}{g}v_0^2 + (\Delta x_2)^2 $

Отсюда находим амплитуду:

$ A = \sqrt{(\Delta x_2)^2 + \frac{v_0^2 \Delta x_1}{g}} $

Ответ: Амплитуда колебаний $ A = \sqrt{(\Delta x_2)^2 + \frac{v_0^2 \Delta x_1}{g}} $, период колебаний $ T = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta x_1}{g}} $.